5. Характеристические сопротивления волноводов

По физическому смыслу характеристическое сопротивление − это отношение электрической характеристики какого-либо волнового процесса к его магнитной характеристике. Напомним, что в теории линий с распределенными постоянными вводится характеристическое сопротивление

,

где и− комплексные амплитуды напряжения и тока в бегущей волне.

В изучаемом курсе было введено характеристическое сопротивление среды для плоской электромагнитной волны

В теории волноводов целесообразно определить характеристическое сопротивление как отношение поперечных составляющих векторов и:

.

Приведем рассмотрение для волн Е- нН-типов в отдельности.

Волны типа Е. Здесь в соответствии с формулами перехода от поперечных компонент к продольным имеем

,.

Отсюда по формуле характеристического сопротивления будем иметь

.

Это выражение можно упростить, воспользовавшись тем, что

.

Учитывая это, получим

где − характеристическое сопротивление среды, заполняющей волновод.

Волны типа Н. Здесь все выкладки совершенно аналогичны проведенным для волн типаЕ. Не останавливаясь на подробностях, приведем окончательный результат:

6. Круглый металлический волновод

В данной главе решаются уравнения Гельмгольца, описывающие волны электрического и магнитного типов в полом металлическом волноводе с круговой формой поперечного сечения. Обсуждаются возможные применения круглых металлических волноводов.

7. Постановка задачи

Круглый металлический волновод представляет собой полую металлическую трубу с внутренним радиусом , бесконечно протяженную вдоль оси(рисунок Рисунок 28 ). Исходные предпосылки в рассматриваемом случае остаются теми же, что и при исследовании прямоугольного волновода. Так, предполагается, что проводимость стенок волновода бесконечно велика, волновод однороден по осии внутренней средой является вакуум. Требуется проанализировать распространение волн элктрического и магнитного типов в подобной системе.

Вообще говоря, для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться теми результатами, которые получены применительно к волноводу с прямоугольной формой сечения. Например, хорошо известна структура поля волны типа в прямоугольном волноводе. Прямоугольный контур сечения может быть преобразован в круглый путем последовательных деформаций. На рис. Рисунок 29 изображен один из первоначальных моментов такой деформации.

28. −Круглый волновод

Принципиально важно отметить, что силовые линии электрического вектора всегда должны подходить к металлическим стенкам волновода по направлению нормали. Этот принцип является определяющим при построении структуры поля. В конечном итоге получим картину, изображенную на рисунке Рисунок 29 . Естественно, что она соответствует основной волне круглого волновода, что и будет показано в дальнейшем

29. −Последовательные этапы деформации прямоугольного волновода

Несмотря на кажущуюся простоту, метод непрерывной деформации сечения мало пригоден для поставленной цели, поскольку получение числовых характеристик сопряжено здесь с весьма значительными математическими трудностями. Поэтому дальнейшее исследование будет опираться на непосредственное решение уравнений Максвелла в той системе координат, которая в наибольшей степени отвечает геометрии данного волновода.

Легко видеть, что стенки изучаемого волновода совпадают с координатной поверхностью цилиндрической системы координат. По этой причине данная система координат оказывается самой подходящей для решения поставленных задач. Уравнения Максвелла без сторонних источников:

в цилиндрической системе координат принимают следующий вид:

В случае направляемых волн, распространяющихся по оси , комплексные амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей запишутся в виде

Частный вид этих зависимостей позволяет, как это было сделано ранее, выразить поперечные составляющие полей ичерез частные производные от продольных составляющих и получить следующие формулы перехода:

.

Отсюда сразу вытекает возможность существования в круглом волноводе колебаний типв ЕиНв отдельности. Для их исследования необходмо решить уравнения Гельмгольца дляи:

,

которые в цилиндрической системе координат принимают вид

.

Здесь использовано выражение оператора Лапласа в системе координат . Для случая направляемых волн в последних уравнениях можно избавиться от частных производных по продольной координате, введя поперечное волновое число. В результате получим уравнения

Разумеется, что однозначное решение этих уравнений возможно лишь том случае, когда они дополнены соответствующими граничными условиями на стенках волновода.