- •Лекции по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн»
- •Лекция 1. Вводная информация, основные понятия, история. Положения векторной алгебры
- •Название курса, преподаватель
- •Объем курса количество лекций, расписание, итоговая проверка
- •Рекомендуемая литература
- •Назначение курса. Рассматриваемые сущности
- •История
- •Рассматриваемые вопросы
- •Скаляры и векторы. Изображение векторов. Примеры скалярных и векторных величин
- •Операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение
- •Скалярные и векторные поля. Изображение полей. Примеры скалярных и векторных полей
- •Лекция 2. Используемые понятия и законы векторного анализа. Заряды и токи. Векторы электромагнитного поля.
- •Циркуляция вектора и поток вектора через поверхность
- •Потенциальное и вихревое поле
- •Градиент, оператор Гамильтона
- •Дивергенция, физический смысл дивергенции
- •Ротор, физический смысл ротора
- •Теорема Стокса
- •Теорема Остроградского-Гаусса
- •Заряды, плотность заряда. Закон сохранения заряда
- •Ток, плотность тока
- •Векторы электромагнитного поля
- •Вектор е напряженности электрического поля.
- •Вектор магнитной индукции b
- •Векторы н и Dэлектромагнитного поля
- •Сводка векторов и их единиц измерения
- •Лекция 3. Основные законы электромагнетизма. Параметры сред. Уравнения Максвелла. В дифференциальной и интегральной форме
- •Закон Гаусса
- •Закон электромагнитной индукции (Фарадея)
- •Закон полного тока (Ампера)
- •Параметры сред, классификация сред
- •Уравнения Максвелла
- •Первое уравнение Максвелла. Ток смещения
- •Второе уравнение Максвелла
- •Третье уравнение Максвелла
- •Четвертое уравнение Максвелла
- •Лекция 4. Обсуждение уравнение Максвелла и следствий из них. Сторонние силы Метод комплексных амплитуд, применение к уравнениям Максвелла. Энергетические соотношения
- •Обсуждение уравнений Максвелла
- •Сторонние токи и заряды
- •Частные случаи электромагнитных процессов
- •Метод комплексных амплитуд
- •Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемость
- •Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Теорема Пойнтинга
- •Теорема Пойнтинга для комплексных амплитуд
Второе уравнение Максвелла
Второе уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея (Рисунок 32 ):
.
−Произвольный контур в магнитном поле
В формулировке Фарадея считалось, что закон электромагнитной индукции справедлив только в случае проводящего контура , движущегося в постоянном электромагнитном поле, или неподвижного контура в переменном поле. Максвелл обобщил закон электромагнитной индукции, который в его формулировке звучит следующим образом:
Формулировка: ЭДС в произвольном замкнутом контуре пространства пропорциональна скорости изменения во времени потока магнитной индукции, пронизывающего любую поверхность, ограниченную контуром. Таким образом, уравнение справедливо и для произвольного замкнутого контура, проведенного в любой среде; в частном случае контур может быть проводящим, он может быть и воображаемым.
Дифференциальная форма уравнения получается, аналогично первому уравнению, применением к интегральной форме теоремы Стокса. Так как по теореме Стокса
то, применяя ее к левой части второго уравнения Максвелла в интегральной форме, получим:
.
Предположим, что контур неподвижен и не изменяется со временем. В этом случае производную по времени в правой части уравнения можно внести под знак интеграла:
.
Так как поверхность произвольна, то это равенство возможно только при равенстве подынтегральных выражений, т.е.
,
что называется дифференциальной формой второго уравнения Максвелла.
В координатной форме второе уравнение Максвелла имеет вид:
Второе уравнение Максвелла справедливо в любой точке пространства в любой момент времени и выражает обобщенный закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме. Из этой формы уравнения следует, что изменение во времени в некоторой точке магнитного поля сопровождается изменением по пространственным координатам в той же точке электрического поля.
Третье уравнение Максвелла
Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность с зарядом, сосредоточенным внутри нее:
,
так как , то
.
До Максвелла этот закон рассматривался только в применении к постоянным полям. Максвелл предположил, что это равенство справедливо и в случае переменных полей. Для заряда, распределенного внутри объема , который окружает поверхность:
,
подставляя это значение в закон Гаусса, получим
Это выражение называют третьим уравнением Максвелла в интегральной форме. Для перехода к дифференциальной форме используем теорему Остроградского-Гаусса:
Преобразуем левую часть третьего уравнения Максвелла в соответствии с теоремой:
.
Это равенство должно выполняться при произвольном объеме , что возможно только в том случае, если
.
Из третьего уравнения Максвелла следует, что источником или стоком векторного поля является плотность объемного электрического заряда, линии вектораначинаются в точках, гдеи заканчиваются в точках, где.
Координатная форма третьего уравнения для декартовой системы координат
.