Уравнение движения

Уравнение энергии связывает температуру (энтальпию) газа со скоростью его движения с учетом энергетических воз­действий, т.е. подвода или отвода внешнего тепла и механи­ческой работы.

Можно получить иную (механическую) форму уравнения энергии, куда не будет входить температура газа, а скорость движения будет связана с давлением и удельным объемом. С этой целью запишем уравнение энергии в виде

В результате получим

После интегрирования

Это и есть обобщенное уравнение Бернулли - уравнение энергетического баланса в механической форме для 1 кг дви­жущегося сжимаемого газа.

Уравнение Бернулли позволяет указать, на что тратится подведенная к газу извне работа. Так, при движении газа с повышением давления подведенная к газу работа (со зна­ком минус) тратится не только на сжатие газа, но и на прео­доление сил гидравлических сопротивлений, а также на уве­личение кинетической энергии газа.

Уравнение количества движения

В механике твердого тела второй закон Ньютона форму­лируется следующим образом: элементарное изменение количества движения равно элементарному импульсу силы, т. е.

Применительно к газовым потокам более удобна другая форма уравнения количества движения. Для вывода уравнения количества движения в гидродинамической форме рассмотрим установившееся движение элементарной газовой струйки, выделив двумя нормальными к ее оси сечениями участок 1-2 (рис. 2). Будем считать, что дви­жение струйки происходит в плоскостих, уи на выде­ленный объем газа 1-2 дей­ствуют внешние силы, рав­нодействующая которых равнаР, а ее проекции нах иу соответственно равныР_х иР_у. Пусть под действием этих сил выделенный участок струйки 1-2 через бесконечно малое времяdτ займет положение1'-2',

При установившемся движении состояние и скорость газа, заключенного между сечениями 1’-1’ и 2-2 не меняются, по этой причине и количество движения массы газа в этом объеме остается неизменным. Поэтому изменение количества движения массы газа при рассматриваемом перемещении вы­деленного объема 1-2 будет определяться только разностью количества движения в объемах 2-2' и 1-1'. Проекция этой разности на осьх будет равна импульсу силыР_х:

Если воспользоваться массовым расходом газа

одинаковым для любого сечения элементарной струйки, тогда

Это и есть уравнение количества движения в гидродинами­ческой форме (первое уравнение Эйлера), которое показы­вает, что проекция на какое-либо направление равнодейст­вующей всех внешних сил, приложенных к струе газа на любом ее участке, равна изменению в том же направлении се­кундного количества движения (Gc) на этом участке.

Уравнение моментов количества движения

Из теоретической механики известна следующая форму­лировка закона моментов количества движения: момент им­пульса равнодействующей всех сил, приложенных к телу, относительно некоторой оси равен изменению суммарного момента количества движения этого тела относительно той же оси за время действия силы.

Применим этот закон к установившемуся движению эле­ментарной струйки (рис. ), имея в виду, что моменты отно­сительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и прохо­дящей через точку 0 от радиальных составляющих сил и ско­ростей (количеств движения), равны нулю.

За бесконечно малое время dτ участок струйки 1-2 пере­местится в положение 1'-2'. Изменение суммарного момента количества движения массы газа, заключенного между се­чениями 1-1 и 2-2, за времяdτбудет равно разности мо­ментов количества движения газа, заключенного в элементарных объемах 2'-2 и 1-1' (так как по причинам, отмеченным ранее, момент количества движения массы газа: в объеме 1-2' не изменяется), т. е.

М_о— момент окружной составляющей равнодействующей: всех сил, действующих на газ между сечения­ми 1-1 и 2-2.

Это уравнение представ­ляет собой уравнение момен­тов количества движения в гид­родинамической форме и называется вторым уравнением Эйлера. Оно показывает, что момент относительно некото­рой оси равнодействующей всех внешних сил, приложен­ных к любому участку потока газа, равен разности моментов относительно той же оси се­кундных количеств движения выходящего и входящего газа.