Решение

Воспользуемся теоремой Карно: коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур нагревателяи холодильникаи не зависит от природы рабочего тела и устройства тепловой машины (см. (16Ф))

Учитывая условие задачи, получим коэффициент полезного действия машины:

К. п. д. цикла Карно запишем через работу и тепло, переданное рабочему телу от нагревателя:, откуда с учетом (2)

Работа находится черези тепло, переданное от рабочего тела холодильнику,

Откуда, учитывая (3), имеем:

Применим к изотермическому сжатию первое начало термодинамики (9Ф) в виде:

где Q ^– тепло, переданное рабочему телу. В нашей задаче Q = ^– Q₂, т. к. тепло отнимается от тела и передается холодильнику; – приращение внутренней энергии рабочего тела. У нас = 0, т. к. Т = const (см. (8Ф)); – искомая работа внешних сил над рабочим телом. В результате из (5) имеем . Используя (4), найдем:

Пример 7. Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n = V₂/V₁ = 2,0 раза; б) давление уменьшается в n = Р₁/Р₂ = 2,0 раза.

Решение

а) Воспользуемся формулой к. п. д. цикла Карно (16Ф)

где – температура нагревателя и холодильника. Используем для адиабатического процесса уравнение Пуассона (14Ф) в виде:

откуда имеем

где = 1,4 – постоянная адиабаты для двухатомного водорода. По условию задачи . Тогда из (2)

Подставляя это выражение в (1), найдем к. п. д. цикла Карно при увеличении объема газа в n = 2,0 раза

б) Запишем уравнение Пуассона в следующем виде (см. (14Ф)):

откуда

,

или, учитывая условие задачи, получим:

С учетом этого выражения, из (1) найдем к. п. д. цикла, когда давление уменьшается в n = 2,0 раза

Пример 8. Один моль гелия при изобарном расширении увеличил свой объем в = V₂/V₁ = 4,0 раза. Найти приращение энтропии.

Решение

Приращение энтропии находится из второго нача­ла термодинамики для равновесных процессов (17Ф)

^,(1)

где δQ – элементарное количество теплоты, находится из первого начала термодинамики (9Ф), записанного в дифференциальной форме,

Приращение внутренней энергии для одного моля газа (см. (8Ф))

где – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Элементарная работа газа

Продифференцируем уравнение состояния идеального газа (2Ф) для одного моля (ν = 1) с учетом того, что процесс изобарный: . Тогда (4) запишется:

Подставляя (3) и (5) в уравнение (2), получим:

Подставим это выражение в (1) и проинтегрируем:

где – число степеней свободы атомов гелия. Применяя уравнение Менделеева–Клапейрона (2Ф) к состояниям газа при изобарном процессе, получим с учетом условия задачи:

Используя это соотношение, из (6) найдем приращение энтропии:

Пример 9. Один моль двухатомного идеального газа находится при температуре = 300 К и сжимается от объема V₁ до объема V₂ = V₁/2 один раз изотермически, а другой – адиабатически. Найти приращение энтропии и конечную температуру в обоих процессах.

Решение

Для нахождения приращения энтропии используем второе начало термодинамики (17Ф)

(1)

Элементарное количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф)

δQ = dU + δA, (2)

где dU – приращение внутренней энергии. При изотермическом процессе dU = 0 (см. (8Ф)). Элементарная работа газа

δА = PdV . (3)

Из уравнения Менделеева–Клапейрона (2Ф), записанного для одного моля (ν = 1), найдем: P = RT/V, и подставим это выражение в (3). В результате получим

(4)

Учитывая dU = 0, из (2) и (4) имеем:

Подставляя это выражение в (1), найдем приращение энтропии при изотермическом сжатии:

Учитывая условие задачи V₂ = V₁/2 и табличное значение универсальной газовой постоянной R = 8,31 Дж/(моль^.К), получим искомое приращение энтропии:

ΔS₁ = – R2 = – 5,76 Дж/К.

Знак « минус » означает, что энтропия при этом процессе уменьшается, так как макросистема не является замкнутой.

Для адиабатического процесса , тогда из (1) видно, что, т. е. энтропия при данном процессе остается постоянной.

Температура при изотермическом процессе не изменяется, следовательно, по условию задачи конечная температура в этом процессе Т₂ = = 300 К. Для адиабатического процесса используем уравнение Пуассона (14Ф) в виде: откуда

Постоянная адиабаты = C_P/С_V. Используя формулы молярных теплоемкостей C_P и С_V (7Ф), найдем: γ = (i + 2)/i. В задаче дан двухатомный газ, для которого число степеней свободы i = 5, тогда γ = 1,4. Учитывая условие задачи V₂ = V₁/2, получим из (5):

Таким образом, конечная температура больше при адиабатическом сжатии.

Пример 10. Точечные закрепленные заряды q₁ = 40 нКл и q₂ = – 10 нКл находятся на расстоянии r = 10 cм друг от друга. Где следует поместить третий заряд q₃, чтобы он находился в равновесии? При каком знаке заряда q₃ равновесие будет устойчивым?