Математичне моделювання систем / МоделирСистем ЛабРаб / Лабораторная работа 1 (Дмитриев Валерий Иванович)
.doc
Лабораторная работа
Тема: Идентификация структуры математической модели объекта (системы) с одним вводом и одним выходом по экспериментальным данным.
Цель работы: выбор структуры математической модели объекта (системы)
-
Постановка задачи.
-
По варианту исходных данных (см. файл .pdf таблицы данных №2 для параболической регрессии) пар значений входных хі(t) и выходных уі(t), наблюдаемых значений величин объекта (t=1…n) в результате пассивного эксперемента, идентифицировать:
-
- линейное уравнение регрессии первого порядка вида y=ax+b;
- нелинейное уравнение регрессии второго порядка вида параболы y=ax2+bx+c.
Для аппроксимации данных использовать метод наименьших квадратов (МНК).
-
Рассчитать коэффициенты корреляции и корреляционного отношения для численной оценки степени связи экспериментальных данных и идентифицированных уравнений регрессии (см. п.1.1.).
-
На графике в координатах (х, у) построить : экспериментальные данные согласно варианта задания, построить рассчитанные уравнения регрессии (см п. 1.1), рассчитав предварительно значения уір(хі) для значений экспериментальных данных хі . Сделать вывод о правильности рассчитанных уравнений регрессии и их построения.
-
Рассчитать ошибки аппроксимации экспериментальных данных линейным и нелинейным уравнениями регрессии (см п. 1.1) 1 и 2 и сделать вывод о наиболее подходящей структуре модели.
-
Используя значения коэффициентов по п.1.2. , сделать вывод подтверждения выбора структуры или неподтверждения. В последнем случае аппроксимируют экспериментальные данные другими зависимостями у= f(х) – логическими, тригонометрическими и т.д. или уточняют выполненные расчеты.
-
Сделать выводы по работе о структуре объекта исследования и полученных результатах.
-
Краткие теоретические положения.
-
Основные положения метода наименьших квадратов (МНК).
-
Для аппроксимации экспериментальных данных в работе применяется метод МНК, суть которого в следующем. В результате идентификации управление регрессии располагается на поле корреляции, проходя через совокупность точек с координатами ( xі , уі ), таким образом , что реализуется критерий
(1)
где уі* - экспериментальные значения по таблице исходных данных варианта;
урі – расчетные значения величин уі по принятому уравнению регрессии для значений .
На рис.1. приведено графическое изображение метода МНК :
У
∆і=(у*і
–урі)
У2
уі*
у =
ах+b
урі
У1
α
b
X2
Xі
X1 0 X
Рис. 1 Графическое изображение метода МНК
В линейном уравнении регрессии полученые коэффициенты имеют такой смысл:
- коэффициент b- величина на координате у, отсекаемая уравнением регрессии;
- коэффициент a- характеризует угол наклона линии регрессии к оси координаты х.
a=tg= , =arctg a (2)
Согласно МНК в критерий (1) вместе урі подставляют принятое аппроксимирующее уравнение регрессии, так для уравнения ур =ах+b получим:
(3)
Выполним преобразования функции под знаком суммы и приравниваем критерий F=0:
(4)
Блок-схема решения задачи:
Рисунок 2 – Блок-схема алгоритма решения задачи
Выражение (4) дифференцируют частными производными по a и b:
(5)
Продолжая преобразования (5) получают расчётную систему:
(6)
(7)
Система (7) – система нормальных уравнений, решая её известными методами (методом подстановки, методом Крамера и т.д.) получим выражения для расчета коэффициентов «а» и «b»:
;
(8)
;
2.2 Для параболы, используя метод МНК, аналогично получим выражение для критерия (1):
(9)
Раскрывая последовательно выражение под знаком суммы и приведя подобные, получим выражения для взятия частных производных, согласно (10):
(10)
Полученные выражения сведём в систему:
(11)
.
Решая систему уравлений (11) одним из известных методов (последовательной подстановки, методом Крамера, матричным методом и т.д.) получают значения коэффициентов а, b, с. Метод последовательной подстановки состоит в следующем:
-
из 1-го уравления определяют выражения, например, для коэффициента «с»:
(12)
-
подставляют это выражение во 2-е уравнение и определяют выражение для коэффициента, например, «b»;
-
полученное выражение подставляют в 3-е уравнение и определяют выражение, например, для коэффициента «а»;
-
полученное значение коэффициента «а» подставляют во 2-е уравнение и определяют «b»;
-
подставляя в 1-е уравнение коэффициенты «а» и «b», определяют значения коэффициента «с».
В результате определяют искомое уравнение регрессии второго порядка y=ax2+bx+c (13).
2.3 Для решения системы (11) методом Крамера, матричным методом необходимо её преобразовать к виду:
А * Х = В, (14)
где А – матрица коэффициентов при неизвестных хi;
Х – вектор-столбец неизвестных (х1, х2, … хn);
В – вектор-столбец свободных членов системы (11), значений в правой части уравнений (b1, b2, … bm).
Для системы (11) принимают х1=а, х2=b, х3=с. Тогда вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец свободных членов будут:
; (15)
Матрица коэффициентов формируется по расчетным значениям: n = a11, , и т.д. В результате получим:
(16)
Решение системы (11) матричным методом (14) будет в виде:
, (17)
где - транспонированная матрица к матрице А,
- обратная матрица.
2.4 Средняя ошибка аппроксимации экспериментальных данных уравнениями регрессии определяется по выражению (см. п. 1.4):
, (18)
Сравнивая - для уравнения прямой и - для уравнения параболы делают вывод о структуре модели (линейная или нелинейная) по меньшей ошибки аппроксимации.
2.5 Расчет коэффициентов для оценки вида связи экспериментальных данных и рассчитанных уравнений регрессии (см. п. 1.2).
Оценку линейной связи по линейному уравнению выполняют по коэффициенту корреляции:
(19)
где ; ;
средние квадратичные отклонения ; (20)
Оценку нелинейной (криволинейной) связи выполняют индексу корреляции или корреляционному отношению согласно выражения:
(21)
где - значения величины «» по расчётному уравнению регрессии нелинейного вида;
- среднее значение величины «» по выборке экспериментальных данных;
- экспериментальные данные.
Сравнивая и по большему значению коэффициента судят о виде лучшей связи (аппроксимации) – линейной или нелинейной.
3. Содержание отчета по работе.
Отчёт должен содержать:
- исходные данные по варианту задания;
- краткую характеристику метода МНК;
- исходные теоретические положения расчётных выражений и подробные расчёты по п.1.1, п.1.2, п.1.4.;
- графики в координатах (x,y) исходных данных расчитаных уравнений регрессии (на одном графике), сделать вывод визуально о лучшей аппроксимации по п.1.3;
- сделать вывод по п.1.5.;
- выводы по работе по п.1.6.
Исп. литературные источники
-
Гаркавий В.К., Ярова В.В. Математична статистика : навчальний посібник, - К: ВД «Професіонал», 2004,-384 с.
-
Бережна Л.В., Снитюк О.І. Економіко математичні методи та моделі. – К.: Кондор, - 2009, -301с.
-
Гришин А.Ф. Статические модели в экономике/ А.Ф.Гришин, С.Ф.Котов-Дарти, В.Н.Ягунов. – Ростов Н/Д: «Фенікс», 2005. - 344с.
-
Новицький І.В., Ус С.А. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. - Дніпропетровськ : НГУ, РВВ, 2009. -349с.