AG
.pdf7.Линейные отображения векторных пространств: задание образом базиса и матрицей, координаты образа вектора и связь между матрицами отображения
вразных базисах.
8.Алгебра линейных операторов и алгебра матриц.
9.Образ и ядро линейного отображения, невырожденные линейные операторы.
10.Инвариантные подпространства.
11.Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен линейного оператора.
12.Диагонализируемые операторы --- равносильные определения.
13.Вычисление многочленов от матриц, функций от матриц и рядов от матриц.
14.Евклидовы и эрмитовы пространства: аксиоматика, примеры, длина вектора и угол между векторами --- неравенство Коши--Буняковского, неравенство треугольника, тождество параллелограмма,теорема Пифагора.
15.Процесс ортогонализации Грама--Шмидта и изоморфизмы евклидовых (эрмитовых) пространств.
16.Ортогональные разложения евклидовых (эрмитовых) пространств, евклидова метрика и расстояние от точки до подпространства.
17.Определитель Грама и линейная зависимость системы векторов евклидова (эрмитова) пространства, определитель Грама и объем параллелепипеда, построенного по системе векторов, следствия, определитель и объем для n векторов в n-мерном пространстве.
18.Сопряженность линейных отображений евклидовых (эрмитовых) пространств относительно скалярного произведения: определение, существование и единственность, связь матриц.
19.Самосопряженные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.
20.Ортогональные и унитарные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.
21.Сингулярные числа, сингулярное и полярное разложение.
22.Сингулярные числа и норма отображения.
23.Билинейные формы: определение, их матрицы и связь между матрицами в разных базисах, инварианты, вырожденность, разложение в сумму симметрической и кососимметрической части, квадратичные формы и их матрицы.
24.Приведение квадратичной формы методом Лагранжа к каноническому виду над полем характеристики, не равной двум.
25.Вещественные квадратичные формы: инвариантность сигнатуры, теорема Якоби, критерий Сильвестра положительной определенности формы.
26.Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям.
27.Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей декартовой системе координат (косоугольной).
28.Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей прямоугольной декартовой системе координат (центральный случай).
29.Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей декартовой системе координат (нецентральный случай).
21
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература:
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, М.: Наука, 2008.
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=76
3. Блощицын В.Я., Сборник задач по теории чисел, Новосибирск, НГУ, 2010 4. Виноградов И.М. Основы теории чисел, СПб; М.; Краснодар: Лань, 2009 http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=46
б) дополнительная литература:
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Наука, 2009.
2. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 2008.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. Часть 2. Линейная алгебра. М., ФМЛ, 2000.
4. Кострикин А.И. (ред.) Сборник задач по алгебре, М.: Факториал, 2001.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционная аудитория, аудитории для практических занятий, доски, мел.
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании Методической комиссии ФИТ от ___________ года, протокол № ______________
22