AG

2 семестр

Алгебра многочленов

Алгебра многочленов: определение и свойства операций, деление с остатком. Корни и значения многочленов: теорема Безу, число корней и степень, формулы Виета, интерполяционная формула Лагранжа. Кратные корни и производная, формула Тейлора для многочлена. Корни комплексных многочленов, разложение комплексных и вещественных многочленов на множители.

Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида, критерий разрешимости линейного диофантова уравнения в алгебре многочленов. Взаимно простые многочлены. Однозначность разложения в произведение неприводимых множителей в алгебре многочленов.

Фактор-алгебра алгебры многочленов по модулю данного многочлена, теорема Кронекера о существовании корня многочлена. Конструкция конечных полей, теорема о порядке, единственности и существовании конечных полей.

Линейные отображения конечномерных векторных пространств

Линейные отображения векторных пространств: задание образом базиса и матрицей, координаты образа вектора и связь между матрицами отображения в разных базисах. Алгебра линейных операторов и алгебра матриц.

Образ и ядро линейного отображения, невырожденные линейные операторы. Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен линейного оператора. Диагонализируемые операторы — равносильные определения. Линейные рекуррентные последовательности — оценка скорости роста.

Нильпотентные операторы и жорданова нормальная форма (без доказательства). Минимальный аннулирующий многочлен. Вычисление многочленов, рядов и функций от матриц.

Линейные отображения евклидовых и эрмитовых векторных пространств

Евклидовы и эрмитовы пространства: аксиоматика, примеры, длина вектора и угол между векторами — неравенство Коши–Буняковского, неравенство треугольника, тождество параллелограмма, теорема Пифагора.

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта и изоморфизмы евклидовых (эрмитовых) пространств. Ортогональные разложения евклидовых (эрмитовых) пространств, евклидова метрика и расстояние от точки до подпространства. Определитель Грама и линейная зависимость системы векторов евклидова (эрмитова) пространства, определитель Грама и объем параллелепипеда, построенного по системе векторов, следствия, определитель и объем для n векторов в n-мерном пространстве.

11

Сопряженность линейных отображений евклидовых (эрмитовых) пространств относительно скалярного произведения: определение, существование и единственность, связь матриц.

Самосопряженные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.

Ортогональные и унитарные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.

Сингулярные числа линейного отображения, сингулярное и полярное разложение. Сингулярные числа и норма линейного отображения.

Билинейные и квадратичные формы, поверхности второго порядка

Билинейные формы: определение, их матрицы и связь между матрицами в разных базисах, инварианты, вырожденность, разложение в сумму симметрической и кососимметрической, квадратичные формы и их матрицы.

Приведение квадратичной формы методом Лагранжа к каноническому виду над полем характеристики, не равной двум.

Вещественные квадратичные формы: инвариантность сигнатуры, теорема Якоби, критерий Сильвестра положительной определенности формы. Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям.

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей декартовой системе координат (косоугольной).

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей прямоугольной декартовой системе координат (центральный и нецентральный случаи).

Тематика практических занятий (2-й семестр)

1.Многочлены: деление с остатком, корни и значения (схема Горнера), формула Тейлора, кратные корни и производная, формулы Виета, интерполяция.

2.Алгоритм Евклида и НОД, решение линейного диофантова уравнения, разложение на простейшие дроби.

3.Конструкция конечных полей как фактор-алгебр алгебры многочленов.

4.Линейные отображения, их матрицы, действие в координатах, связь в разных базисах, ядро и образ.

12

5.Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен.

6.Диагонализируемые операторы и инвариантные подпространства.

7.Многочлены и ряды от матриц.

8.Евклидовы и эрмитовы пространства, расстояния, углы.

9.Сопряженные операторы и отображения, самосопряженные оператор.

10.Ортогональные и унитарные операторы.

11.Норма линейного отображения евклидовых пространств, сингулярное и полярное разложение.

12.Канонизация квадратичных и билинейных форм.

13.Приведение уравнений поверхностей второго порядка к каноническому виду (центральный случай).

14.Приведение уравнений поверхностей второго порядка к каноническому виду (нецентральный случай).

5. Образовательные технологии

.Используется традиционная система обучения, включающая лекции и практические занятия. Основные принципы организации лекций:

изложение материала от простого к сложному;

строгость, четкость и ясность в изложении материала;

демонстрация взаимодействия алгебры, геометрии и теории чисел с целью успешного решения задач;

изложение примеров, показывающих связь теории и практики, взаимодействие с другими дисциплинами, в особенности, информационнотехнологическими.

Такие же принципы применимы и к практическим занятиям. Речь идет о вы-

боре и последовательности задач для самостоятельного или коллективного решения. Цель занятий состоит в выработке навыков решения типовых задач дисциплины. Решать задачи невозможно без знания основных понятий и фактов, излагаемых в лекциях. Это необходимо контролировать в начале или в течение занятия, проводя краткое тестирование и заканчивая контроль итоговым перечнем сведений, необходимых для решения задач. При решении задач на практических занятиях важно добиться свободного обсуждения тем в форме диалога между преподавателем и студентами и самими студентами. Задание домашней самостоятельной работы должно включать как типовые, так и некоторые более сложные задачи. Следующее занятие должно начинаться с проверки выполнения домашнего задания.

13

Для проверки как теоретических, так и практических знаний, проводятся потоковые контрольные работы. В первом семестре - 4 контрольные работы, во втором – 3 контрольные работы. Система потоковых контрольных работ заставляет студентов работать в течение всего семестра регулярно, не откладывая изучение материала на сессию. Она позволяет познакомиться с уровнем будущих требований на экзамене, скорректировать свои усилия по результатам первых контрольных работ. Фактически по результатам потоковых контрольных к концу семестра имеется довольно полная картина успехов и неудач каждого студента.

В конце каждого семестра проводится экзамен для окончательной проверки знаний студентов и их аттестации. Экзаменационный билет включает два теоретических вопроса, дополнительная задача, как правило, предлагается на тему, которая не связана с темой билета. Важно помнить, что открытость, систематичность, объективность, аргументированность – главные принципы, на которых основаны контроль и оценка знаний студентов.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспече-

ние самостоятельной работы студентов

1)Текущий контроль. В течение первого семестра выполняются 4 потоковые контрольные работы, во втором – 3 потоковые контрольные работы. Выполнение указанных видов работ является обязательным для всех студентов, а результаты текущего контроля служат основанием для выставления оценок в ведомость контрольной недели на факультете. В случае отсутствия по уважительной причине, а также в случае неудовлетворительных оценок потоковых контрольных работ может быть организовано переписывание контрольной работы в течение 10 дней после контрольной или в неделю допуска к экзамену. Студент не допускается к экзамену, если у него в итоге более половины неудовлетворительных оценок, систематические пропуски практических занятий и невыполнение домашних заданий --- решение о не допуске принимают лектор вместе с ассистентом, ведущим практические занятия в данной группе.

2)Промежуточная аттестация --- экзамен. Студент случайным образом выбирает билет, содержащий 2 вопроса по теории, а также получает задачу. По каждой теме с неудовлетворительной оценкой потоковой контрольной работы предлагается дополнительная задача.

3)Самостоятельная работа студентов. Студенты изучают теоретический материал, используя либо конспекты лекций, либо известные учебники по аналитической геометрии и линейной алгебре, например, Александров П.С. « Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры» (см. список литературы). Элементы теории чисел можно изучать по учебному пособию: Блощицын В.Я. «Лекции по теории чисел». Кри-

14

терий оценки самостоятельной работы студентов – успешное выполнение домашних заданий и потоковых контрольных работ.

На практических занятиях используются задачники: 1) Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров Л.А. «Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре», 2) Блощицын В.Я. «Сборник задач по теории чисел», (см. список литературы).

6.1. Примеры потоковых контрольных работ.

Вариант 1 (ФИТ-1)

Формулы, определения, теоремы:

1.Теорема о свойствах векторного произведения геометрических векторов.

2.Определение смешанного произведения геометрических векторов.

3.Формула скалярного произведения векторных произведений (с доказатель-

ством).

4.Расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением.

5.Формула расстояния между скрещивающимися прямыми, заданными параметрически.

Задачи (система координат прямоугольная):

1.Однородная проволока согнута в виде угла из катета OA и гипотенузы AB прямоугольного треугольника OAB. Найти координаты центра ее тяжести, если известны координаты O(0,0), A(a,0), B(0,a√3).

2.Найти ортогональную проекцию вектора a=(8,-2,2) на плоскость P, заданную уравнением 2x+y+2z=0.

3.Найти площадь параллелограмма с направляющими ребрами a=(1,2,3) и b=(3,- 2,5).

4.Найти угол между скрещивающимися медианами граней правильного тетраэдра.

5.Все стороны треугольника на сфере радиуса 1 равны π/6. Найти углы при вершинах треугольника.

Вариант 1 (ФИТ-2)

Формулы, определения, теоремы

1.Каноническое уравнение эллипса, координаты фокусов, уравнения директрис и теорема о директориальном свойстве эллипса.

2.Каноническое уравнение параболы, координаты фокуса и теорема об оптическом свойстве параболы.

3.Уравнения прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида, заданного каноническим уравнением.

Задачи (система координат прямоугольная):

1. Найти уравнение касательных к гиперболе x2/4-y2=1, проходящих через точку (- 2,2).

15

2.Найти уравнение гиперболы с фокусами (7,0) и (-7,0), проходящей через точку (- 2,12).

3.Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся одновременно

двух данных окружностей с центрами O1, O2 и радиусов r1<r2, причем первая данная окружность лежит внутри второй.

4.При каких значениях параметра λ сечение конуса x2+y2=z2 плоскостью x-y+λz=1 является параболой?

5.Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от данной сферы и точки внутри сферы.

Вариант 1 (ФИТ-3)

1.Определение поля.

2.Теорема о размерности векторного пространства.

3.Формула разложения определителя по строке (с доказательством).

4.Найти число бинарных операций на множестве из двух элементов, относительно которых умножение степеней каждого элемента неассоциативно.

5.Найти фундаментальную систему решений уравнения x1+x2=x3+x4 в пространстве R4.

6.Найти общее решение следующего уравнения в алгебре вещественных матриц

7.Найти проекцию вектора (1,1,…,1) из Rn на пространство решений уравнения x1+x2+ … +xn=0 параллельно прямой с базисным вектором (1,2,…,n).

8.Как изменится определитель, если его матрицу отразить относительно побочной диагонали?

Вариант 1 (ФИТ-4)

Формулы, определения, теоремы:

1.Определение наибольшего общего делителя двух целых чисел.

2.Определение φ-функции Эйлера и ее вычисление через разложение на простые множители.

3.Теорема о свойствах взаимно простых чисел (с доказательством).

4.Теорема о конечных подгруппах мультипликативной группы поля.

2.Решить сравнение 1905x≡1 (mod 2014).

3.Разрешимо ли сравнение x2≡76 (mod 127)?

4.Найти двузначное десятичное число a, если десятичная запись числа a22 заканчивается на 69.

16

8.Найти каноническое уравнение и каноническую прямоугольную систему координат для поверхности в R3 , заданной уравнением

8x2+5y2+5z2+4(xy-yz+xz)+6(x+y+z)+36=0.

6.2Вопросы к экзамену ( 1-й семестр):

1.Геометрические векторы: определение, операции сложения векторов и умножения вектора на вещественное число, свойства операций.

2.Линейные комбинации геометрических векторов, линейная зависимость и независимость, базис и единственность разложение вектора по базису, преобразование координат при сложении векторов и умножении на число.

3.Декартова система координат: координаты точки и вектора, заданного двумя точками, деление отрезка в данном отношении.

4.Полярная система координат на плоскости, цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве.

5.Скалярное произведение геометрических векторов: определение и основные свойства, скалярное произведение линейных комбинаций, формула скалярного произведения в координатах в ортонормированном базисе, выражение длины вектора и угла между ненулевыми векторами через скалярное произведение, формулы ортогональной проекции вектора на направление ненулевого вектора и разложения вектора по ортогональному базису.

6.Векторное произведение геометрических векторов: определение, основные свойства, векторное произведение линейных комбинаций, формула векторного произведения в правом ортонормированном базисе, ориентированная площадь параллелограмма на плоскости и определитель второго порядка.

7.Смешанное произведение геометрических векторов: определение, основные свойства, связь с ориентируемым объемом параллелепипеда и выражение через координаты в правом ортонормированном базисе в виде определителя третьего порядка.

8.Дополнительные свойства векторного произведения: двойное векторное произведение, тождество Якоби, скалярное произведение двух векторных произведений, формула косинусов сферической геометрии, векторное произведение и формулы Крамера.

9.Преобразование координат вектора и точки при замене базиса и декартовой системы координат, вид параллельных переносов, отражений и поворотов плоскости в координатах в подходящей декартовой системе координат.

10.Уравнения прямой на плоскости: общее, нормальное, в отрезках координатных осей, параметрические, каноническое, по двум точкам, через определитель.

11.Уравнения плоскости в пространстве: общее, нормальное, в отрезках координатных осей, параметрические, каноническое, по трем точкам, через определитель.

12.Уравнения прямой в пространстве: задание системой двух линейных уравнений, параметрические уравнения, каноническое, по двум точкам.

18

13.Формулы расстояний между двумя точками, от точки до прямой на плоскости, от точки до плоскости в пространстве, от точки до прямой в пространстве, между параллельными и скрещивающимися прямыми в пространстве.

14.Вычисление углов между двумя ненулевыми векторами, между прямыми на плоскости, между плоскостями в пространстве, между прямой и плоскостью в пространстве.

15.Эллипс: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, фокальное, директориальное и оптическое свойства.

16.Гипербола: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, фокальное, директориальное и оптическое свойства.

17.Парабола: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, фокально-директориальное и оптическое свойства.

18.Приведение общего уравнения кривой второго порядка на плоскости каноническому виду.

19.Эллипсоид: каноническое уравнение, свойства симметрии и характеристики, теорема о круговых сечениях.

20.Конус: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о плоских сечениях кругового конуса.

21.Однополостный и двуполостный гиперболоиды: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о прямолинейных образующих.

22.Эллиптический и гиперболический параболоиды: каноническое уравнение, свойства симметрии, теорема о прямолинейных образующих.

23.Классификация и вид цилиндрических поверхностей.

24.Алгебраические операции, алгебраические структуры, изоморфизм. 25.Абелевы группы, кольца, поля: аксиоматика, примеры, простейшие следствия

аксиом.

26.Кольца вычетов и поля вычетов.

27.Векторные пространства: аксиоматика, примеры, простейшие следствия аксиом, базисы и теорема об изоморфизме координатным пространствам над полем.

28.Алгебры: аксиоматика, примеры, теорема о задании алгебр произведениями базисных элементов, поле комплексных чисел.

29.Алгебра матриц.

30.Системы линейных уравнений и метод Гаусса: приведение матриц к ступенчатому и редуцированному виду, критерий совместности и общее решение совместной системы линейных уравнений, однородные системы и фундаментальные системы решений.

31.Теорема о размерности векторного пространства. Подпространства и ранг системы векторов, теорема о линейной оболочке и размерности подпространств.

32.Сумма и пересечение подпространств: определение и теорема о размерности суммы; прямые суммы: определение и критерий на языке пересечений.

33.Перестановки и определитель матрицы как функция системы ее строк, теорема о существовании и единственности.

34.Дополнительные свойства определителя: поведение при элементарных преобразованиях системы строк, определитель треугольной матрицы, транспонированной матрицы, полураспавшейся матрицы, произведения матриц.

19

35.Теорема о разложении определителя по строке (столбцу), формула для обратной матрицы, формулы Крамера в общем случае.

36.Теорема о ранге для матриц.

37.Кольцо целых чисел: теорема о делении с остатком. 38.Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида.

39.Критерий разрешимости линейного диофантова уравнения и алгоритм поиска частного решения.

40.Свойства взаимно простых чисел.

41.Общее решение линейного диофантова уравнения.

42.Основная теорема арифметики.

43.Конструкция кольца вычетов по модулю n, критерий обратимости числа по модулю n, поле вычетов.

44.Китайская теорема об остатках (древняя и новая формы), сведение уравнений в кольце вычетов к случаю примарного модуля .

45.Китайская теорема об остатках (древняя и новая формы), представление арифметики больших чисел порядка 1090 в 64-х разрядной бинарной арифметике.

46.Группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю n: определение и вычисление функции Эйлера, теорема об общем периоде элементов конечной абелевой группы, малая теорема Ферма и ее обобщение --- формула Эйлера.

47.Определение циклической группы, три леммы о порядках элементов и теорема цикличности конечной подгруппы мультипликативной группы поля.

48.Определение дискретного логарифма и описание RSA-криптографии с открытым ключом.

49.Простые числа: бесконечность и критерий простоты через биномиальные коэффициенты.

50.Группы подстановок: определение, правило умножения и теорема о групповой структуре, знак подстановки и его мультипликативность, разложение на циклы и транспозиции, знак и количество транспозиций в разложении.

51. Определение символа Якоби (по Золотареву), его свойства: мультипликативность, критерий разрешимости квадратичного уравнения по простому модулю, вычисление символа -1 и 2 по отношению к n.

52.Определение символа Якоби (по Золотареву), его свойства: периодичность ---

леммы 2 и 3, закон взаимности Гаусса--Якоби.

6.3Вопросы к экзамену (2-й семестр):

1.Алгебра многочленов: определение и свойства операций, деление с остатком.

2.Корни и значения многочленов: теорема Безу, число корней и степень, формулы Виета, интерполяционная формула Лагранжа.

3.Кратные корни и производная, формула Тейлора для многочлена.

4.Корни комплексных многочленов, разложение комплексных и вещественных многочленов на множители.

5.Фактор-алгебра алгебры многочленов по модулю данного многочлена и теорема Кронекера о существовании корня для многочлена.

6.Теорема о порядке, единственности и существовании для конечных полей.

20