posobie

Перейдем к определению поверхностного интеграла второго рода по кусочно-гладкой поверхности.

Пусть S есть кусочно-гладкая поверхность, состоящая из частей S1, . . . , Sm, и пусть на S имеется согласованная ориентация S+. Далее, пусть на S задана функция F0(x,y,z).

Поверхностным интегралом второго рода по поверхности S+ по координатам x, y называется сумма

i=1Si+

Интегралы по координатам y, z и z, x определяются подобным же образом. Интегралы по поверхности S− определяются, как и в случае гладкой поверхности, изменением знака у соответствующего интеграла по поверхности S+ на противоположный.

Замечание 1. Понятие кусочно-гладкой поверхности исключает поверхности типа конуса. Однако в ряде случаев на такие поверхности вполне можно перенести все построения, касающиеся поверхностных интегралов (как первого, так и второго рода), если смотреть на конус как на поверхность, полученную предельным переходом в семействе кусочно-гладких поверхностей (именно, усеченных конусов с "отрезанной вершиной" ).

Замечание 2. Поскольку и поверхностный интеграл первого рода, и поверхностный интеграл второго рода сводятся к двойному интегралу, то на поверхностные интегралы можно распространить некоторые понятия, связанные именно с двойным интегралом — например, можно построить теорию несобственных поверхностных интегралов.

1.4.3. Формула Гаусса7 — Остроградского8

Формула Гаусса — Остроградского в теории поверхностных интегралов играет такую же роль, как формула Грина в теории криволинейных интегралов.

Область G из пространства R3 называется элементарной относительно оси Oz, если ее граница S состоит из двух поверхностей S1 и S2, имеющих явное представление z = ϕ(x,y) и z = ψ(x,y), (x,y) Ω R2 (такие поверхности очевидным образом параметризуются: x = u, y = v, z = ϕ(u,v), (u,v) Ω или же x = u,

7К.Ф. Гаусс (1777—1855) — немецкий математик.

8М.В. Остроградский (1801—1861) — русский математик.

41

y = v, z = ψ(u,v), (u,v) Ω) и таких, что при (x,y) Ω выполняется неравенство ϕ(x,y) ≤ ψ(x,y) и, быть может, части S0 цилиндра, составленного из отрезков прямых, параллельных оси Oz

исоединяющих точки (x,y,ϕ(x,y)) и (x,y,ψ(x,y)), (x,y) ∂Ω. Аналогично определяются области, элементарные относительно

осей Ox и Oy.

Область G из пространства R3 называется элементарной, если она элементарна относительно всех трех осей Ox, Oy, Oz.

Если поверхность S является границей некоторой области G из пространства R3, то тогда эту поверхность можно представить как поверхность S+ — т.е. как поверхность, прилегающую к нормали, вычисляемой по формуле (1.3.1), либо же как поверхностьS− — как поверхность, противоположную нормали (1.3.1), и при этом может оказаться, что разные части S будут по разному ориентированы. В ряде случаев более удобным является другой подход к ориентации границ областей — подход, предполагающий ориентацию поверхности с помощью внутренней либо внешней нормали. При таком подходе граница S области G является либо внутренней — прилегающей к внутренней нормали, либо внешней — прилегающей к внешней нормали стороной поверхности S.

Теорема 1.4.1. Пусть область G из пространства R3 такова, что ее можно разбить кусочно-гладкими поверхностями на конечное число элементарных областей. Далее, пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), а также их частные производные Px(x,y,z), Qy(x,y,z), Rz(x,y,z) опре-

в котором (cosα,cosβ,cosγ) есть направляющие косинусы вектора внешней нормали к границе S области G.

Доказательство. Пусть вначале сама область G элементарна. Рассмот-

42

Вследствие элементарности G относительно оси Oz имеем

=[R(x,y,ψ(x,y))− R(x,y,ϕ(x,y))] dxdy.

Ω

С другой стороны, учитывая представление z = ϕ(x,y) и z = ψ(x,y),

Вспоминая далее определение поверхностного интеграла второго рода, учитывая, что на поверхности S2+ нормаль (1.3.1) является внешней, на поверхности же S1+ — внутренней, переходя к единой — внешней — нормали, придем к равенствам

Rdxdy = Rcosγ ds,

Наконец, учитывая равенство

Rcosγ dS = 0

S0

(являющееся следствием равенства cosγ = 0), получаем окончательно, что

43

Совершенно аналогично показывается, что имеют место формулы

Суммируя последние три формулы, получим требуемое равенство (1.4.1). Пусть теперь область G есть множество G = G1 G2 S , причем G1 и G2 есть элементарные области, S есть разделяющая их кусочно-гладкая

поверхность. Представляя интеграл по области G в виде суммы интегралов по областям G1 и G2 (что возможно вследствие свойства аддитивности тройного интеграла), применяя формулу (1.4.1) к каждой области G1 и G2, учитывая, что внешняя нормаль на поверхности S направлена взаимно противоположно по отношению к областям G1 и G2, а также то, что оставшиеся части границ областей G1 и G2 составят вместе границу G, получим требуемую формулу (1.4.1) для составной области G.

Очевидно, что если область G составлена из более чем двух областей G1 и G2 и разделяющих их поверхностей, то рассуждения будут вполне аналогичны, и тем самым формула (1.4.1) будет справедлива и для такой области.

Теорема доказана.

Формула (1.4.1) и называется формулой Гаусса — Остроградского. Как и формула Грина, формула Гаусса — Остроградского справедлива для более широкого класса областей.

Теорема 1.4.1 . Пусть область G ограничена в R3, ее граница S представляет собой кусочно-гладкую поверхность. Далее, пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), а также их частные производные Px(x,y,z), Qy(x,y,z), Rz(x,y,z) определены и непрерывны при (x,y,z) G. Тогда имеет место равенство (1.4.1).

Доказательство этой теоремы основано на возможности аппроксимации кусочно-гладкой поверхности кусочно-плоской поверхностью, области G

— областью, являющейся многогранником. Поскольку для многогранника формула (1.4.1) справедлива, то, переходя к пределу по параметру аппроксимации, получим, что формула (1.4.1) будет справедлива и для области, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью. Непосредственное осуществ-

44

ление описанной процедуры требует больших технических усилий, и потому приводиться здесь не будет.

Пусть P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) есть функции

P(x,y,z) = f(x,y,z) · g(x,y,z), Q(x,y,z) ≡ R(x,y,z) ≡ 0.

Формула Гаусса — Остроградского для таких функций дает равенство

Аналогично, если P(x,y,z) ≡ R(x,y,z) ≡ 0, Q(x,y,z) = f(x,y,z)·g(x,y,z), либо P(x,y,z) ≡ Q(x,y,z) ≡ 0, R(x,y,z) = f(x,y,z) · g(x,y,z), из фор-

Равенства (1.4.2)—(1.4.4) представляют собой формулы интегрирования по частям в трехмерном случае.

1.4.4. Формула Стокса9 и независимость криволинейных интегралов второго рода от пути интегрирования

Пусть S есть поверхность в пространстве R3, заданная параметризацией Φ(u,v), (u,v) Ω, и пусть вектор-функция Φ(u,v) есть дважды непрерывно дифференцируемая при (u,v) Ω функция, поверхность S при этом не имеет особых точек. Далее, пусть Ω есть плоская ограниченная область такая, что для нее выполняется формула Грина (1.2.1) (при выполнении нужных условий гладкости для подынтегральных функций), γ0 есть граница области Ω, и эта граница представляет собой замкнутую кусочно-гладкую кривую без самопересечений с положительным направлением обхода и с параметризацией (u(t),v(t)), t [a,b]. На поверхности S определена нормаль ν (см. (1.4.1)), и пусть эта нормаль есть вектор (cosα,cosβ,cosγ). Определим кривую γ в пространстве R3 как кривую с параметризацией

Φ(u(t),v(t)), t [a,b], и пусть эта кривая представляет собой границу,

9Д. Стокс (1819—1903) — английский механик и математик.

45

или край поверхности S (говорят также, что поверхность S натянута на кривую γ).

Наконец, пусть область G из пространства R3 есть такая область, что выполняется вложение S G, и пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) определены при (x,y,z) G.

Теорема 1.4.2. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны в области G вместе со всеми своими первыми частными производными, для поверхности S, для кривых γ0 и γ выполняются сделанные выше предположения. Тогда выполняется равенство

P dx + Qdy + Rdz =

S

(1.4.5)

Доказательство. В соответствии с определением криволинейного интеграла второго рода для первого слагаемого левой части (1.4.5) имеем

b

Pdx = P(f(u(t),v(t)),g(u(t),v(t)),h(u(t),v(t)))dtd [f(u(t),v(t))]dt

γa

(напомним, что Φ(u,v) = (f(u,v),g(u,v),h(u,v))). Вычисляя полную производную dtd [f(u(t),v(t))], получим

b

Pdx = P(f(u(t),v(t)),g(u(t),v(t)),h(u(t),v(t)))×

γa

×[fu(u(t),v(t))u (t) + fv(u(t),v(t))]dt.

C другой стороны, рассмотрим криволинейный интеграл по кривой γ0 в плоскости (u,v) от функции P(f(u,v),g(u,v),h(u,v))fv(u,v) по координате v. Имеет место равенство

P(f(u,v),g(u,v),h(u,v))fu(u,v)du+P(f(u,v),g(u,v),h(u,v))fv(u,v)dv

γ0

46

b

=P(f(u(t),v(t)),g(u(t),v(t)),h(u(t),v(t)))fu(u(t),v(t))u (t)dt+

a

b

+P(f(u(t),v(t)),g(u(t),v(t)),h(u(t),v(t)))fv(u(t),v(t))v (t)dt.

a

Отсюда

P dx = P(f(u,v),g(u,v),h(u,v))[fu(u,v)du + fv(u,v)dv]. (1.4.6)

γγ0

Вычисляя далее поверхностные интегралы первого рода по поверхности S от функции ∂P∂x cosβ−∂P∂y cosγ (с вычислением коэффициентов первой квадратичной формы поверхности S и нормали ν), получим равенство

47

γS

γS

Сложив (1.4.7), (1.4.8) и (1.4.9), получим требуемое равенство (1.4.5). Теорема доказана.

Равенство (1.4.5) и представляет собой формулу Стокса.

Для запоминания формулы Стокса можно предложить следующее: подынтегральное выражение в равенстве (1.4.5) представляет собой опре-

если при раскрытии его заменить умножение на действие соответствующих

операторов ∂x∂ , ∂y∂ , ∂z∂ .

В условии теоремы 1.4.2 условие дважды непрерывной дифференцируемости вектор-функции Φ(u,v) можно заменить условием гладкости поверхности S. Доказательство справедливости равенства (1.4.5) в этом случае будет основано на аппроксимации функций f(u,v), g(u,v), h(u,v) бесконечно дифференцируемыми в Ω функциями и предельном переходе. Осуществлять всю эту процедуру ввиду ее громоздкости мы не будем.

И еще одно замечание — формулу Стокса можно применять и для ку- сочно-гладких поверхностей S с согласованной ориентацией: подразумевается, что поверхность S представляется как объединение конечного числа гладких поверхностей, к каждой из них применяется формула Стокса,

48

интегралы же по кривым, являющимся общей частью границы соседних поверхностей, взаимно сокращаются.

Обсудим теперь вопрос о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в трехмерном случае.

Будем называть поверхности S из пространства R3, к которым применима формула Стокса, допустимыми.

Область G из пространства R3 называется поверхностно односвязной, если для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ без самопересечений, лежащей в G, существует допустимая поверхность S, также лежащая в G и натянутая на эту кривую.

Теорема 1.4.3. Пусть G есть поверхностно односвязная область из пространства R3, P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) есть заданные определенные в G непрерывные вместе со всеми своими первыми частными производными функции. Для функций P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) имеет место свойство независимости криволинейного интеграла второго рода от формы P dx + Qdy + Rdz от пути интегрирования тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

1. Для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ, целиком лежащей

γ

2. Существует функция u(x,y,z) такая, что для любых точек (x,y,z) из G выполняется

du(x,y,z) = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz;

3. Для любых точек (x,y,z) из G выполняются равенства

Доказательство. Эквивалентность условия 1 и свойства независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования показывается также, как устанавливался аналогичный факт в двумерном случае — см. доказательство теоремы 1.2.3. Далее, вновь аналогично доказательству

49

теоремы 1.2.3 показывается, что из свойства независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования следует выполнимость условия 2, и что из выполнимости условия 2 следует, что криволинейный интеграл второго рода от формы P dx + Qdy + Rdz обладает свойством независимости от пути интегрирования.

Докажем эквивалентность свойства независимости криволинейного интеграла второго рода и условия 3.

Если криволинейный интеграл второго рода от формы P dx+Qdy+Rdz не зависит от пути интегрирования, то существует функция u(x,y,z) такая, что

ux(x,y,z) = P(x,y,z), uy(x,y,z) = Q(x,y,z), uz(x,y,z) = R(x,y,z).

Поскольку функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) имеют непрерывные частные производные по всем переменным, то функции ux(x,y,z), uy(x,y,z), uz(x,y,z) также имеют непрерывные частные производные по всем переменным, и при этом вторые смешанные производные от функции u(x,y,z), взятые в разном порядке, будут совпадать. Из равенств вторых смешанных производных функции u(x,y,z) и следуют равенства

Обратно, пусть выполняется условие 3, и пусть γ есть замкнутая кусочногладкая кривая без самопересечений, лежащая в G. Согласно условию теоремы, существует допустимая поверхность S, лежащая в G и натянутая на кривую γ. Для криволинейного интеграла второго рода

P dx + Qdy + Rdz

γ

имеет место формула Стокса. Вследствие условия 3 правая часть формулы Стокса равна нулю. Но тогда будет выполняться условие 1. Согласно доказанному выше, из условия 1 вытекает, что криволинейный интеграл второго рода от формулы P dx+Qdy+Rdz обладает в G свойством независимости от пути интегрирования.

Теорема полностью доказана.

50