posobie

Эта цепочка и дает нужную ограниченность частичных сумм и далее — сходимость ряда ( ).

Вернемся к определенному выше функциональному ряду. Неравенства

|um| ≤ αm,

справедливые на отрезке [x0 − h0,x0 + h0], сходимость ряда ( ) и признак Вейерштрасса означают, что рассматриваемый функциональный ряд равномерно сходится на отрезке [x0 − h0,x0 + h0] к некоторой функции y(x).

Сходимость ряда к своей сумме означает сходимость к ней его частич-

= lim [y0 + y1(x) − y0 + y2(x) − y1(x) + ... + yn+1 − yn(x)] = lim yn+1(x).

n→∞ n→∞

Таким образом, не только частичные суммы построенного функционального ряда сходятся к функции y(x), но и сама последовательность {yn(x)} будет сходиться к той же функции y(x). Поскольку функциональный ряд сходится на отрезке [x0 −h0,x0 +h0] равномерно, то и последовательность его частичных сумм будет сходиться равномерно на том же отрезке. Возвращаясь к рекуррентному соотношению

x

yn+1(x) = y0 + f(t,yn(t))dt,

x0

переходя к пределу в этом соотношении при n → ∞, получаем, что для функции y(x) на отрезке [x0 − h0,x0 + h0] будет выполняться равенство

x

y(x) = y0 + f(t,y(t))dt.

x0

171

Как было показано при доказательстве теоремы 3, из этого равенства следует, что функция y(x) будет решением задачи Коши.

Покажем, что решение задачи Коши может быть только одно. Предположим, что имеется еще одно решение y(x). Обозначим z(x) =

y(x) − y(x). Имеют место равенства

z (x) = f(x,y(x))− f(x,y(x)), z(x0) = 0.

Интегрируя от x0 до текущей точки, получим

x

z(x) = [f(t,y(t)) − f(t,y(t))] dt.

x0

Следствием данного равенства является неравенство

x

|z(x)| ≤ K |z(t)|dt.

x0

&x

Обозначим F(x) = |z(t)|dt. Последнее неравенство можно записать в

F(x) ≤ KF(x)

идалее преобразовать в неравенство

e−KtF(t) ≤ 0, t [x0 − h0,x0 + h0].

Интегрируя и учитывая равенство F(x0) = 0, получим

e−KxF(x) ≤ 0,

откуда следует F(x) ≡ 0, и далее |z(x)| ≡ 0. А это и означает, что второе решение y(x) совпадает с найденным.

Теорема полностью доказана.

Замечание. Аналоги теорем 3.4.1–3.4.3 можно доказать и для задачи Коши для систем уравнений.

172

Использованная литература

1.Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 1, М.: "Высшая школа" , 1973; Т. 2. М.: "Высшая школа" , 1973.

2.Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1999; Часть I. Книга 2. Новосибирск: Институт математики СО РАН; Часть II. Книга 1. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1999; Часть II. Книга 2. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2001.

3.Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

4.Вулих В.З. Введение в функциональный анализ. М.: Гос. изд-во физ. мат. лит., 1958.

5.Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2005.

6.Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.

7.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир,

1970.

173