Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

226.43 Кб

Скачать

☆

§3. Обобщенная задача Коши. Характеристики уравнений с частными производными.

Рассмотрим д.у. порядка m, линейное, оператор которого L записан в нормальной форме (см. §1):

	j jX
Lu = D0mu +	a®j(t; x)D0jDx®u = f(t; x):	(1)

® +j·m j<m

По аналогии с обыкнов. д.у. поставим для (1) задачу Коши, кото-

рая состоит в нахождении решения u = u(t; x) следующей задачи

(

(2)	Lu = f; (t; x) 2 G;
	D0jujt=t0 = '(j)(x); j =	0; m ¡ 1	:

Здесь G = f(t; x); x 2 -; a < t < bg, причем a < t0 < b; a; b - некоторые постоянные.

Замечание. Легко видеть, что в задаче (2) нельзя задавать

u®j(t ¡ t0)j(x ¡ x0)®;

Лекция №3, НГУ, ММФ, 2010

больше начальных данных при t = t0, поскольку любая произ-
водная от решения(j)D0jDx®u¯t=t0	может быть выражена через на-
чальные данные ' (x) и коэффициенты¯		уравнения (1).
¯

Сформулируем теперь без доказательства теорему КошиКовалевской о существовании и единственности аналитического решения задачи Коши (2).

Теорема Коши-Ковалевской. Предположим, что коэффициен-

ты a®j, правая часть f(t; x) уравнения (1) аналитичны в S";y0; y0 = (t0; x0); x0 2 -. Предположим, что начальные данные 'j(x); j =

0; m ¡ 1 аналитичны в S"0;x0. Тогда существует шар S±;y0 и единственная аналитическая функция

>u = u(t; x) =

(3)		u®j =	®!j!	j®j+j¸0
	>	u®j =	®!j!	³D0jDx®u´¯y0 ;
	>		1	¯
	>
	:			¯

определенная в S±;y0, для которой

(

(2)Luj = f в S±;y0;

D0ujt=t0 = '(j)(x); x 2 S±;y0 \ ft = t0g; j = 0; m ¡ 1:

Замечание. Определение шара S";y0 и т.д. см. в §1.

В дальнейшем мы будем использовать усиленный вариант теоремы Коши-Ковалевской:

Если коэффициенты a®j(t; x); f(t; x) аналитичны в окрестности гиперплоскости t = t0, а начальные данные '(j)(x) в области -, то существует окрестность гиперплоскости t = t0 и единственная аналитическая функция, определенная в этой окрестности, для ко-

торой:
	Lu = f;
	(2)
	(D0ju	t=t0	= '(j)(x); j =	0; m	¡	1:
	j				¡

Заметим также, что утверждение об единственности аналитического решения следует из представления (3) и из замечания, сде-

Лекция №3, НГУ, ММФ, 2010

ланного выше. В самом деле, поскольку функция u = u(t; x) представляется в виде ряда Тейлора, то коэффициенты этого ряда однозначно определяются через начальные данные, коэффициенты уравнения (1).

И последнее, задача Коши (2) легко может быть сведена к задаче Коши с нулевыми начальными данными. В самом деле, положим

u(t; x) = u(t; x)

m¡1

(t ¡ t0)j

'(j) :

}

u0{z(t; x)

Тогда, задача (2) перепишется так:

0 j

Lu = f(t; x) ¡ Lu0

= f(t; x); (t; x) 2 G;

0 в -; j = 0; m 1:

(20) (Dju t=t0

Сформулированная выше теорема Коши-Ковалевской носит для нас конструктивный характер.

Рассмотрим теперь общее линейное уравнение порядка m (см. §1):

(4) Lu + ::: = f(t; x);
b	j®jX
L =	b	a®j(t; x)D0jDx®

+j=m

и попробуем обобщить задачу Коши (2) применительно к уравнению (4).

Обобщенная задача Коши заключается в нахождении

решения следующей задачи:

Lu + ::: = f(t; x); (t; x)

2 ½

< µ@l

(5)

> b

= '(j)(t; x); (t; x) °

G; j = 0; m 1:

Лекция №3, НГУ, ММФ, 2010					4
Здесь:			e
° : (	ª(t; x) = 0		e	ª
° : (	ªt ° = 0	; l =	rª		j° ;
	j 6		e
	j 6		jr j
			jr j
		> 0
= 0
				l (\| l \|=1)
	<0

(rª; r)

k{gj

f t @t

}|k @x

@ = (l; ) =

ª @

+ ªx

°.

}

(rª; r)

В достаточно малой

окрестности гиперповерхности ° сделаем глад-

кую невырожденную замену переменных

(

(+)y = x; y = (y1; :::; yn);

» = ª(t; x); u(t; x) = ue(»; y):

Якобиан этого преобразования
	0	ª	ª1x1	ª0xn	1
det	0	0t	ª1x1	ª0xn	1	= ªt = 0 на °:
	B: : : : : : : : : : : : : :C					6
	B	0	0	1	C
	@				A

Лекция №3, НГУ, ММФ, 2010

Очевидны следующие соотношения (см. §2):

= ªt

@»

+ ª

; k = 1; n;

xk @»

@xk

@yk

т.е.

®1

®n

D0jDx® = µªt

¶ µ

+ ªx1

::: µ

+ ªxn

@»

@y1

@»

@yn

@»

@j®j+j

= (ª| t)j(ªx1){z®1:::(ªxn)®}n @»j®j+j + :::;

(ªt)j(rª)®

т.е.

a®jD0jDx®u = a®j(ªt)j(rª)® ¢D»mu + ::: ;

j®j+j=m

@l@ =

= e 1 ¯¯ jrªj¯

1 ¯ e ¯ jrªj¯

(

ª2t @»@

j®j+j=m

}

ª)

K(t;{z

)¯

(ªt

+ ªxk

@xk

k=1

¯°

@¯

+ k=1

ªxk µ@yk

+ ªk @» ¶)¯° =

j¯°

= jrªj¯°

k=1 ªxk

;

@»

@yk

т.е.

¯ j @j

µ@l

= µjrªj¯°¶

@»j + ::: :

Лекция №3, НГУ, ММФ, 2010

µªt2

Здесь jrªj =

+ k=1 ªx2k ¶

;

F (t; x) °e= F (t(0; x); x) = F (y); t = t(»; x) = t(»; y);

уравнениеj

° : » = 0:

В задаче (5) перейдем к новым переменным y; »:

K(t; x; rª)D»mu +

a®j(»; y)D»jDy®u = f(»; y); (»; y) 2 G;

® +j·m

(6) >

j<m

e e

(j)

D»u¯»=0 = ' (y); y 2 -; j = 0; m ¡ 1;

@¯

где D» =

; x = y; t = t(»; x);

@»

a®j(t; x)(ª)j(rª)®:

K(t; x; rª) =

® +j=m

Пусть

j jP

K(t; x; rª)j° 6= 0:

K( ) = 0

Тогда

и в некоторой

окрестности °. В этом случае задача

(6) может быть переписана так (сравните с задачей (2)!):

D»mu +

a®j(»; y)D»jDy®u = f(»; y); (»; y) 2 G;

® +j·m

(7)

j<m

(j)

D»u¯»=0 = ' (y); j = 0; m ¡ 1; y 2 -:

Определения.¯Выражение

e¯

K(t; x; ³) =	a®j(t; x)³j³®1	:::³®n; ³ = (³0; ³1; :::; ³n)
	0 1	n
	+j=m
	j®jX

наз. характеристической формой для уравнения (4). Поверхность °:

ª(t; x) = 0

наз. характеристической поверхностью для уравнения (4) или просто характеристикой, если

K(t; x; rª)j° = 0:

8> X

> j®j+j·m

< j<m

Лекция №3, НГУ, ММФ, 2010

Будем говорить, что поверхность ° : ª(t; x) = 0 в точке (t0; x0) 2 ° имеет характеристическое направление, если:

K(t; x; rª)j(t0;x0)2° = 0:

Замечание. K(t; x; ¾³) = ¾mK(t; x; ³); ¾ > 0 - некоторое число, т.е. хар. форма является однородным полиномом степени m относительно переменных ³0; :::; ³n.

Итак, если гиперповерхность ° : ª(t; x) = 0 не является характеристикой для уравнения (4), то обобщенная задача Коши (5) сводится к задаче Коши (7), к которой применима, например, теорема Коши-Ковалевской (см. начало §3) при соответствующих требованиях на коэффициенты, правую часть уравнения (4), началь-

(j) "

ные\ данные ' (t; x), функцию ª(t; x). Согласно теореме КошиКовалевской (на самом деле, согласно ее несколько усиленному варианту, см. замечание), обобщенная задача Коши (5) в этом случае имеет всегда единственное аналитическое решение в некоторой окрестности гиперповерхности °, если эта поверхность не является характеристикой. Если же гиперповерхность ° является характеристикой, то на ней, вообще говоря, нельзя уже задавать произвольно данные '(j)(t; x) (если все же потребовать, чтобы задача

(5) имела решение). В самом деле, из (6) следует, что при » = 0 имеем:

(8)>

>¯

: D»ue¯


a®j(0; y) D»Dy qu(0; y) = fe(0; y);
e		j	®		e
	\|			{z		}

Dy®'e(j)(y)

= 'e(j)(y); j = 0; m ¡ 1; y 2 -;

»=0

т.е. начальные данные не могут быть произвольными (в точках (t; x) 2 ° имеется дополнительная связь (8)). Можно показать, что в этом случае решение задачи Коши либо неединственно (начальные данные специально подобраны), либо его нет (начальные данные заданы произвольно).

Лекция №3, НГУ, ММФ, 2010

Литература.

Шабат А.Б. Уравнения с частными производными (курс лекций для студентов НГУ), ч.1. - Новосибирск, 1967г.

Соседние файлы в папке 2010-09-10

#
28.03.2016279.19 Кб12pic_1.eps
#
28.03.2016272.57 Кб12pic_2.eps
#
28.03.2016226.43 Кб14Лекция_3.pdf
#
28.03.201611.86 Кб12Лекция_3.tex