All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_6 / 2010-10-11 / Лекция_6

\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{book}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, longtable, color, cite}
\usepackage{geometry} % Меняем поля страницы
%\geometry{left=3cm}% левое поле — не менее 30 мм
%\geometry{right=1cm}% правое поле — не менее 10 мм
\geometry{top=1cm}% верхнее поле — не менее 15 мм
\geometry{bottom=0.5cm}% нижнее поле — не менее 20 мм

\begin{document}
\pagestyle{myheadings}



\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}

\setcounter{section}{5}

\section{Принцип Дюамеля. Метод Фурье}
\noindent

Метод, с помощью которого находятся не обязательно аналитические решения.

\textit{Грубую идею } метода Фурье рассмотрим на примере следующего класса систем:
\begin{equation}
 \frac{\partial U}{\partial t}=AU+F,      %(1)
\end{equation}
где
\begin{eqnarray*}
&&A=(a_{ij}), i,j=\overline{1,n},\quad a_{ij}=\sum_{|\alpha|\leq m}b^{\alpha}_{ij}(t,x)D_x^\alpha,\\
&&U=\left(
   \begin{array}{c}
   u_1\\
   \vdots\\
   u_n\\
   \end{array}
   \right),\quad
F=F(t,x)=\left(
   \begin{array}{c}
   f_1(t,x)\\
   \vdots\\
   f_n(t,x)\\
   \end{array}
   \right),\\
&&t>0,\quad x\in \Omega\subset R^n.
\end{eqnarray*}

С системами вида (1) мы уже встречались в $\S$5 (симметрические $t$-гиперболические системы, $m=1$).

Другой пример
{\renewcommand{\theequation}{$*$}
\begin{equation}
 u_{tt}=u_{xx}+f(t,x),\quad t>0, x\in R^1.      %(*)
\end{equation}}
Пусть $u=u(t,x)$ - достаточно гладкое решение уравнения ($*$). Тогда для вектора
$U=\left(
\begin{array}{c}
   u\\
   u_t\\
   \end{array}
   \right)$
справедливо:
{\renewcommand{\theequation}{$**$}
\begin{equation}
 U_{t}=AU+F,                            %(**)
\end{equation}}
где
$$A=\left(
\begin{array}{cc}
   0& 1\\
   \frac{\partial^2}{\partial x^2}& 0\\
   \end{array}
   \right),\quad
F=\left(
\begin{array}{c}
   0\\
   f\\
   \end{array}
   \right).$$
Обратно, пусть $U=\left(
\begin{array}{c}
   u_1\\
   u_2\\
   \end{array}
   \right)$ - некоторое решение системы ($**$). Тогда\\
$$(u_1)_t=u_2\quad \mbox{и}\quad (u_1)_{tt}=(u_1)_{xx}+f(t,x).$$

\setcounter{equation}{1}
Вернемся к системе (1). Какие задачи для нее можно формулировать? \\
Задача Коши:
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  U_{t}=AU+F,  \quad t>0, x\in R^n, \\                                      %(2)
  U|_{t=0}=\varphi(x), \quad x\in R^n,
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
где $\varphi=\left(
   \begin{array}{c}
   \varphi_1(x)\\
   \vdots\\
   \varphi_n(x)\\
   \end{array}
   \right)$.

Покажем, как свести задачу (2) с $F\neq 0$ к задаче с  $F\equiv 0$.
Будем искать решение задачи (2) в виде
$$U=V+W,$$
где  $V$  - решение однородной задачи Коши:
{\renewcommand{\theequation}{о.з.к.}
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  V_{t}=AV,   \\                         %(о.з.к.)
  V|_{t=0}=\varphi(x),
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
а $W$ - решение неоднородной задачи Коши с однородными начальными условиями:
{\renewcommand{\theequation}{н.з.к.}
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  W_{t}=AW+F,   \\                         %(н.з.к.)
  W|_{t=0}=0.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
Обозначим через $G(t,x,\tau)$ вектор-функцию, решающую задачу Коши:
{\renewcommand{\theequation}{в.з.к.}
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  \frac{\partial}{\partial t}G(t,x,\tau)=A(t+\tau,x)G(t,x,\tau),   \\[4mm]                  %(в.з.к.)
  G(t,x,\tau)|_{t=0}=F(\tau,x).
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
Тогда решение (н.з.к):
$$ W(t,x)=\int\limits_0^1G(t-\tau,x,\tau)d\tau.$$
Действительно
\begin{eqnarray*}
&W_t=G(0,x,t)+\int\limits_0^1\frac{\partial}{\partial t}G(t-\tau,x,\tau)d\tau=\\
&=F(t,x)+\int\limits_0^1A(t,x)G(t-\tau,x,\tau)d\tau=\\
&=F(t,x)+A(t,x)\int\limits_0^1G(t-\tau,x,\tau)d\tau=AW+F,\\
&W|_{t=0}=0.
\end{eqnarray*}
При этом мы, естественно, предполагали, что вектор-функция $G(t,x,\tau)$ обладает необходимой гладкостью
по всем переменным для того, чтобы были законными все проделанные выше операции. Приведенный
метод построения вектор-функции $W(t,x)$ с помощью вектор-функции $G(t,x,\tau)$ называется
\textbf{принципом Дюамеля}.\\
%
\textbf{Пример}.\\
Задачи Коши для уравнения ($*$)
\begin{eqnarray*}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  u_{tt}=u_{xx}+f(t,x),\quad t>0, x\in R^1,\\[3mm]
  u|_{t=0}=\varphi_0(x),\quad u_t|_{t=0}=\varphi_1(x),\quad x\in R^1.
  \end{array}
  \right.
\end{eqnarray*}
Сведем ее к задаче Коши для системы ($**$)
\begin{eqnarray*}
  &&\left\{
  \begin{array}{l}
  U_{t}=AU+F(t,x),\quad t>0, x\in R^1,\\
  U|_{t=0}=\varphi(x)=\left(
           \begin{array}{c}
           \varphi_0(x)\\
           \varphi_1(x)\\
           \end{array}
           \right),\quad x\in R^1.
  \end{array}
  \right.\\
&&U=V+W=\left(
      \begin{array}{c}
      u\\
      u_t\\
      \end{array}
      \right)=
      \left(
      \begin{array}{c}
      v_1\\
      v_2\\
      \end{array}
      \right)+
      \left(
      \begin{array}{c}
      w_1\\
      w_2\\
      \end{array}
      \right),\\
&&F(t,x)=\left(
      \begin{array}{c}
      0\\
      f(t,x)\\
      \end{array}
      \right).
\end{eqnarray*}
Задача для вектора $V$
\begin{eqnarray*}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  V_{t}=AV,   \\
  V|_{t=0}=\varphi(x)
  \end{array}
  \right.
\end{eqnarray*}
эквивалентна задаче Коши
\begin{eqnarray*}
  &\left\{
  \begin{array}{l}
  (v_1)_{tt}=(v_1)_{xx},   \\[3mm]
  v_1|_{t=0}=\varphi_0(x), \\[3mm]
  (v_1)_t|_{t=0}=\varphi_1(x),
  \end{array}
  \right.\\[3mm]
&(v_2=(v_1)_t),
\end{eqnarray*}
решение которой дается в виде формулы Даламбера:
{\renewcommand{\theequation}{+}
\begin{equation}
v_1(t,x)=\frac{\varphi_0(x-t)+\varphi_0(x+t)}{2}+\frac{1}{2}\int\limits_{x-t}^{x+t}\varphi_1(\xi)d\xi.       %(+)
\end{equation}}
Задача для определения вектора $G(t,x,\tau)$:
\begin{eqnarray*}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  G_t(t,x,\tau)=AG(t,x,\tau),   \\
  G(t,x,\tau)|_{t=0}=F(\tau,x)=\left(
                               \begin{array}{c}
                                0\\
                                f(\tau,x)\\
                                \end{array}
                                \right),
  \end{array}
  \right.
\end{eqnarray*}
т.е. с учетом формулы (+) первая компонента вектора $G(t,x,\tau)$:
$$g_1(t,x,\tau)=\frac{1}{2}\int\limits_{x-t}^{x+t}f(\tau,\xi)d\xi.$$
Тогда
{\renewcommand{\theequation}{++}
\begin{equation}
w_1=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{t}\int\limits_{x-t+\tau}^{x+t-\tau}f(\tau,\xi)d\xi d\tau,                            %(++)
\end{equation}}
т.е. $u=v_1+w_1$ (см. формулы (+) и (++)).\\
Если $\varphi_0(x)\in C^2(R^1)$, $\varphi_1(x)\in C^1(R^1)$, $f(t,x)$, $f_x(t,x)$ - непрерывны в области
$t>0,\ x\in R^1$, то $u(t,x)\in C^2(\{t>0, x\in R^1\})$ - классическое решение.

\setcounter{equation}{2}
Вернемся к задаче (2) и будем (в силу принципа Дюамеля) полагать далее, что
$F(t,x)\equiv 0$.
Построим вначале формальное решение задачи (2) в виде (полагая, что $b^{\alpha}_{ij}$
не зависят от $t$):
\begin{equation}
U(t,x)=e^{tA}\varphi(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k\varphi(x).                              %(3)
\end{equation}
Здесь $e^{tA}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k$ - операторная экспонента (по аналогии с матричной
экспонентой $e^{tA}$, когда $A$ - просто матрица).
Продифференцируем фор\-маль\-но ряд по $t$:
$$U_t=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}A^k\varphi(x)=A(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k\varphi(x))=AU$$
и $U|_{t=0}=\varphi(x)$, т.е. формальный ряд (3) формально решает задачу (2).

Чтобы ряд (3) стал неформальным решением, надо придать смысл этой формуле.
С этой целью, мы вместо задачи (2) рассмотрим другую более сложную задачу
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  U_{t}=AU,  \quad t>0,\ x\in \Omega\subset R^n, \\[2mm]                                                 %(4)
  U|_{t=0}=\varphi(x), \quad x\in \Omega,\\[2mm]
  \mbox{при}\ x\in \partial\Omega,\ t>0 \ \mbox{поставлены граничные условия.}
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}

Решение (4) будем вновь искать в виде (3), но для придания смысла этой формуле
потребуем, чтобы задача на собственные значения для оператора $A$ (спектральная задача)
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  AV=\lambda V,  \quad x\in \Omega, \\[2mm]                                                 %(5)
  V(x) \ \mbox{удовлетворяет граничным условиям при} \ x\in \partial\Omega,
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
где $\lambda$ - собственное значение оператора $A$,\\
$V=V(x)$ - собственная вектор-функция, удовлетворяющая граничным условиям при $x\in \partial\Omega$;\\
имела счетное множество собственных значений $\lambda$:
$$\{\lambda_k\}$$
и счетное множество собственных вектор-функций $V(x)$:
$$\{V_k(x)\}$$
($V_k(x)$ - отвечает собственному значению $\lambda_k$).

Далее будем полагать, что начальные данные таковы, что
$$\varphi(x)=\sum_{k}c_kV_k(x),$$
$c_k$ - некоторые постоянные.

Тогда
\begin{eqnarray*}
&e^{tA}\varphi(x)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{t^{j}}{j!}A^j(\sum\limits_{k}c_kV_k)=
\sum\limits_{j=0}^{\infty}\sum\limits_{k}c_k\frac{t^{j}}{j!}A^jV_k=\\
&=\sum\limits_{k}(\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{t^{j}\lambda_k^j}{j!})c_kV_k(x)=
\sum\limits_{k}e^{t\lambda_k}c_kV_k(x),
\end{eqnarray*}
т.е. ряд (3) имеет смысл, если последний ряд сходится. Если сходится и ряд
$$\sum_{k}c_k\lambda_ke^{\lambda_k t}V_k(x),$$
он дает функцию $U_t$, которая в этом случае существует. Тогда формула (3) решает
задачу (4). Такова грубая идея метода Фурье. Заметим, что
$$e^{tA}\varphi(x)=\sum_{k}e^{\lambda_k t}c_kV_k(x)=\sum_{k}T_k(x)V_k(x).$$
В этом случае говорят, что переменные разделились и по этой причине
метод Фурье еще называется \textit{методом разделения переменных.}

Попытка \textit{обоснования метода Фурье.}\\
Процесс обоснования метода Фурье.\\
\textbf{Примеры.}
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}                                                                   %(6)
  u_{t}=u_{xx},\quad t>0,\ 0<x<1,\\[2mm]
  u|_{t=0}=\varphi(x), \quad 0<x<1,\\[2mm]
  u|_{x=0}=u|_{x=1}=0, \quad t>0.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
Физический смысл задачи (6).\\
Решение задачи (6) функция $u=u(t,x)$, $(t,x)\in G=\{(t,x); t>0,
0<x<1\}$, непрерывная в области $\overline{G}=\{(t,x); t\geq 0,
0\leq x\leq 1\}$, непрерывно дифференцируемая  по $t$ в области
$G$ и при каждом $t>0$ функция $u\in C^2(\Omega)$, $\Omega=\{x,
0<x<1\}$ и удовлетворяющая условиям (6). Оператор
$A=\frac{d^2}{dx^2}$. Задача (5) на собственные значения ставится
так {\renewcommand{\theequation}{5$'$}
\begin{equation}
\left\{
  \begin{array}{l}
  v''=\lambda v, \quad x\in \Omega, \quad v=v(x),      \\[2mm]                        %(5')
  v(0)=v(1)=0.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{1}
Найдем нетривиальные решения задачи (5$'$)
\begin{eqnarray*}
&& \lambda\rightarrow -a^2, \quad v(x)=c_1\cos ax+c_2\sin ax;\\
&&\left\{
  \begin{array}{l}
  c_1=0,      \\                        %(5')
  c_2\sin a=0 \quad \Rightarrow \quad a_k=k\pi,\ k=1,2,3...,
  \end{array}
  \right.
\end{eqnarray*}
т.е. $\lambda_k=k^2\pi^2$, $v_k(x)=\sin k\pi x,\ k=1,2,3...$ - искомые
собственные значения и нетривиальные собственные функции (определенные
с точ\-ность\-ю до константы) оператора $A=\frac{d^2}{dx^2}$.
Для упрощения дальнейших рассуждений возьмем начальную функцию
$\varphi(x)\in C_0^3(\overline{\Omega})$. Здесь $C_0^m(\overline{\Omega})$
 - множество всех функций из $C^m(\overline{\Omega})$, имеющих носители
$supp \Subset \Omega$. Носитель функции $f(x)$, $x\in R^n$,
$supp=\overline{\{x\in R^n; f(x)\neq 0\}}$.

Говорят, что функция $f(x)\in C_0^m(\overline{\Omega})$ финитная
($\Omega$ - ограниченное множество,
$\overline{\Omega}$ - ограниченное, замкнутое множество (компакт)).\\
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic_2.eps}
\end{figure}

Из теории рядов Фурье известно, что функция $\varphi(x)\in
C_0^3(\overline{\Omega})$ раск\-ла\-ды\-ва\-ет\-ся в равномерно
сходящийся ряд по $v_k(x)=\sin k\pi x,\ k=1,2,...:$
\begin{eqnarray*}
&\varphi(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}c_k\sin k\pi x,\\
&\mbox{где }c_k=2\int\limits_{0}^{1}\varphi(x)\sin k\pi xdx=-2\int\limits_{0}^{1}\frac{\varphi(x)}{k\pi}d[\cos k\pi x]=\\
&=\frac{2}{k\pi}\int\limits_{0}^{1}\varphi '(x)\cos k\pi x dx=
-\frac{2}{(k\pi)^2}\int\limits_{0}^{1}\varphi ''(x)\sin k\pi x dx=\\
&=-\frac{2}{(k\pi)^3}\int\limits_{0}^{1}\varphi '''(x)\cos k\pi x dx,\ \mbox{т.е.}\\
&|c_k|=\frac{2}{(k\pi)^3}\Bigl|\int\limits_{0}^{1}\varphi '''(x)\cos k\pi x dx\Bigr|\leq
\frac{2}{(k\pi)^3}\int\limits_{0}^{1}|\varphi '''(x)|dx\leq \\
&\leq \frac{2\max\limits_{0\leq x\leq 1}|\varphi '''(x)|}{(k\pi)^3}=\frac{const}{k^3},\\
&|\varphi(x)|=\Bigl|\sum\limits_{k=1}^{\infty}c_k\sin k\pi x\Bigr|\leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}|c_k|\leq
\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{const}{k^3}< \infty.
\end{eqnarray*}

Мы воспользовались здесь тем, что система функций\\ $\{\sin k\pi x\}$, $k=1,2,...$
 ортогональна на промежутке $[0,1]$:
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{0}^{1}\sin k\pi x \sin m\pi x dx =\left\{
  \begin{array}{l}
  0, \ k\neq m     \\
  \frac{1}{2},\ k=m
  \end{array}.
  \right.
\end{eqnarray*}
Ряд (3) в этом случае
$$u=\sum_{k=1}^{\infty}c_ke^{-k^2\pi^2t}\sin k\pi x$$
равномерно сходится, поскольку:
$$|u(t,x)|=\Bigl|\sum_{k=1}^{\infty}c_ke^{-k^2\pi^2t}\sin k\pi x\Bigr|\leq
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{const\ e^{-k^2\pi^2t}}{k^3}< \infty$$
для всех $t\geq 0$.

 Если продифференцировать ряд (3) формально по $x$ и по $t$:
$$\sum_{k=1}^{\infty}c_k k\pi e^{-k^2\pi^2t}\cos k\pi x,$$
$$-\sum_{k=1}^{\infty}c_k(k\pi)^2e^{-k^2\pi^2t}\sin k\pi x,$$
 то они равномерно сходятся, т.к.
$$\Bigl|\sum_{k=1}^{\infty}c_k k\pi e^{-k^2\pi^2t}\cos k\pi x\Bigr|\leq
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{const\ \pi e^{-k^2\pi^2t}}{k^2}< \infty$$
при всех $t\geq 0$,
$$\Bigl|\sum_{k=1}^{\infty}c_k(k\pi)^2e^{-k^2\pi^2t}\sin k\pi x\Bigr|\leq
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{const\ \pi^2 e^{-k^2\pi^2t}}{k}< \infty$$
при всех $ t\geq \delta > 0$ и любого $\delta>0$.

Это означает, что функцию $u(t,x)$ можно два раза непрерывно
диф\-фе\-рен\-ци\-ро\-вать по $x$ и один раз по $t$.
 Итак, ряд
$$u=\sum_{k=1}^{\infty}c_ke^{-k^2\pi^2t}\sin k\pi x$$
 решает задачу (6).\\
%
\textbf{Задача}.\\
 Покажите, что на самом деле решение задачи (6)
 $u(t,x)\in C^\infty(G)$, где $C^\infty(G)=\bigcap\limits_{m=0}^{\infty}C^m(G)$.

Далее, поскольку
\begin{eqnarray*}
&|u(t,x)-\varphi(x)|=\Bigl|\sum\limits_{k=1}^{\infty}(e^{-k^2\pi^2t}-1)c_k\sin k\pi x\Bigr|\leq\\
&\leq \Bigl|\sum\limits_{k=1}^{N}(e^{-k^2\pi^2t}-1)c_k\sin k\pi x\Bigr|+
\Bigl|\sum\limits_{k=N+1}^{\infty}e^{-k^2\pi^2t}c_k\sin k\pi x\Bigr|+
\Bigl|\sum\limits_{k=N+1}^{\infty}c_k\sin k\pi x\Bigr|,
\end{eqnarray*}
то $u(t,x)\rightarrow\varphi(x)$ при $t\rightarrow +0$ равномерно по $x$
(для $\forall \varepsilon>0$, $\exists \delta$, $N_0$, $t<\delta$, $N>N_0$ и каждое слагаемое
$|\ |<\frac{\varepsilon}{3}$).

Единственность построенного решения:\\
$\varphi(x)\ \rightarrow \ u^{I}, u^{II}\ \rightarrow \ u=u^{I}-u^{II}$,\\
функция $u$ удовлетворяет задаче (6) с начальными данными $\equiv 0$.
$$ 2u\cdot| \ u_t=u_{xx}\ \rightarrow \ (u^2)_t=2(u\cdot u_x)_x-2u_x^2,$$
$$\int\limits_{0}^{1}dx\ \rightarrow \ \frac{d}{dt}J(t)=
-2\int\limits_{0}^{1}u_x^2dx+2(u\cdot u_x)|^{x=1}_{x=0}\leq 0\ \rightarrow$$
$$ J(t)\leq J(0),\ J(t)=\int\limits_{0}^{1}u^2dx.$$
Поскольку $J(0)=0$, то $J(t)=0\ \rightarrow \ u(t,x)\equiv 0$ в области $G$.

 Непрерывная зависимость решения от начальных данных






\end{document}