All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_7 / 2010-10-28 / Лекция_7

\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{book}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, longtable, color, cite}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm}
\geometry{bottom=0.5cm}

\begin{document}
\pagestyle{myheadings}

\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}

\setcounter{section}{6}

\section{Метод Фурье. Понятие корректности задач математической физики}
\noindent

Обоснование метода Фурье в простейших случаях.
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}                                                                   %(1)
  u_{tt}=u_{xx},\quad (t,x)\in G=\{(t,x); t>0, 0<x<1\},\\[3mm]
  u|_{t=0}=\varphi_0(x), \quad u_t|_{t=0}=\varphi_1(x), \quad x\in \Omega=\{x, 0<x<1\},\\[3mm]
  u|_{x=0}=u|_{x=1}=0, \quad t>0.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
Физический смысл задачи (1).\\
Класс решения задачи (1): $u(t,x)\in C^2(G)$, $u$ не\-пре\-рыв\-на в $\overline{G}$,
$u_t$ не\-пре\-рыв\-на в $\overline{G}$.

Мы не будем, пользуясь идеями $\S$6, заменять задачу (1) на задачу для системы
\begin{equation*}
 U_t=AU.
\end{equation*}
Применим метод разделения переменных к исходной задаче (1). С этой целью, будем искать
у волнового уравнения
\begin{equation*}
 u_{tt}=u_{xx}
\end{equation*}
частные, нетривиальные решения вида
\begin{equation*}
u(t,x)=T(t)v(x),
\end{equation*}
удовлетворяющие краевым условиям
\begin{equation*}
u|_{x=0}=u|_{x=1}=0,
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
&\frac{T''}{T}(t)=\frac{v''}{v}(x)=const=-a^2\ \rightarrow\\[2mm]
&T''+a^2T=0,\quad v''+a^2v=0,
\end{eqnarray*}
т.е. переменные разделились. Из краевых условий получаем
\begin{equation*}
v(0)=v(1)=0.
\end{equation*}
Итак, для нахождения функции $v(x)$ мы вновь имеем задачу на соб\-ствен\-ные значения
(спектральную задачу) того же вида, что и в $\S$6:
\begin{eqnarray*}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  v''+a^2v=0,\quad x\in\Omega;\\[2mm]
  v(0)=v(1)=0.
  \end{array}
  \right.
\end{eqnarray*}
Нетривиальные решения этой задачи:
$$ a_k=k\pi,\quad v_k(x)=\sin k\pi x,\ k=1,2,...~.$$
Из уравнения
$$T''+a^2T=0$$
находим:
$$ T_k(t)=A_k\cos k\pi t+B_k\sin k\pi t,$$
$A_k$, $B_k$ - пока произвольные постоянные.

Итак, функции
$$ u_k(t,x)=\sin k\pi x\{A_k\cos k\pi t+B_k\sin k\pi t\},\ k=1,2,...$$
удовлетворяют уравнению и граничным условиям при любых $A_k$, $B_k$.

Попытаемся определить эти постоянные так, чтобы бесконечный ряд
\begin{equation}
u(t,x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}u_k(t,x)
\end{equation}
давал решение задачи (1).

При $t=0$:
\begin{eqnarray*}
&u|_{t=0}=\varphi_0(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}A_k\sin k\pi x,\\
&u_t|_{t=0}=\varphi_1(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k\pi B_k\sin k\pi x.
\end{eqnarray*}
Пусть $\varphi_0(x), \varphi_1(x)\in C^4_0(\overline{\Omega})$. Тогда
\begin{eqnarray*}
&A_k=2\int\limits_{0}^{1}\varphi_0(x)\sin k\pi x dx,\\
&B_k=\frac{2}{k\pi}\int\limits_{0}^{1}\varphi_1(x)\sin k\pi x dx,
\end{eqnarray*}
причем
\begin{equation*}
|A_k|\leq\frac{const}{k^4}, \quad |B_k|\leq\frac{const}{k^5}.
\end{equation*}
\textbf{Задача.}\\
Покажите, что ряд (2) можно дифференцировать почленно два раза по $t$ и $x$.
Покажите, что $u(t,x)\rightarrow\varphi_0(x)$,  $u_t(t,x)\rightarrow\varphi_1(x)$
при $t\rightarrow +0$ равномерно по $x$.

Единственность:
\begin{eqnarray*}
&u^{I},\ u^{II},\ u=u^{I}-u^{II},\\
&u_{tt}=u_{xx}\ \rightarrow \ 2u_{t}u_{tt}=2u_{t}u_{xx}\ \rightarrow \\[2mm]
&\rightarrow \ (u^2_{t})_{t}=2(u_{t}u_{x})_{x}-(u^2_{x})_{t}\ \rightarrow \\
&\rightarrow \ (u^2_{t}+u^2_{x})_{t}=2(u_{t}u_{x})_{x}\ \rightarrow \ \int\limits_{0}^{1}dx:\\
&\frac{dJ(t)}{dt}=0 \ \rightarrow \ J(t)=J(0),\quad J(t)=\int\limits_{0}^{1}(u^2_{t}+u^2_{x})dx.
\end{eqnarray*}
Поскольку $J(0)=0$, то $u_t=u_x\equiv 0\ \rightarrow u\equiv 0$ в $G$.

Непрерывная зависимость решения от начальных данных.

Разница между задачей (1) из $\S$6 и $\S$7: гладкость решения (2) можно
повысить, только повышая гладкость начальных данных.

Уравнение Лапласа
$$ \triangle_{x,y}u=u_{xx}+u_{yy},\quad (x,y)\in \Omega\subset R^2.$$
\textbf{Определение.} Непрерывные решения уравнения $\triangle_{x,y}u=0$ называются \textbf{гармоническими функциями}.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа:
\begin{equation}
  \left\{                                                      %(3)
  \begin{array}{l}
  \triangle_{x,y}u=0, \quad (x,y)\in \Omega,\\[2mm]
  u|_{\partial\Omega}=f(x,y)|_{\partial\Omega}.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
Физический смысл: задача о прогибе мембраны.\\
Пусть $\Omega=\{(x,y),\ x^2+y^2<R^2\}$ - круг.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}

$\triangle_{x,y}u=0\ \rightarrow$
{\renewcommand{\theequation}{3$'$}
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}                                                   %(3')
  r\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial}{\partial r})+\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}=0,\\[2mm]
  u|_{r=R}=f(\varphi).
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{3}
Частные решения уравнения Лапласа
\begin{eqnarray*}
&u(r,\varphi)=A(r)B(\varphi),\\
&\frac{r(rA')'}{A}=-\frac{B''}{B}=a^2=const,\\[2mm]
&B(\varphi)=c_1\sin a\varphi+c_2\cos a\varphi,\\
&A(r)=\left\{
      \begin{array}{l}
      c_3r^a+c_4r^{-a},\ (a\neq 0),\\
      c_5+c_6\ln r,\ (a=0),
      \end{array}
      \right.
\end{eqnarray*}
$c_{1,2,3,4,5,6}$ - некоторые постоянные;
$B(\varphi)$ - периодическая с периодом $2\pi$,
$a=n$, $n=0,1,...$ .

Функции $r^{-n}$, $n=1,2,3,...$ имеют особенности при $r=0$,
поэтому непрерывные внутри круга частные решения уравнения Лапласа имеют вид:
$$u_n(r,\varphi)=r^n(b_n\sin n\varphi+a_n\cos n\varphi),\ n=1,2,...~.$$
При $n=0$ $(a=0)$:
$$u_0(r,\varphi)=const=\frac{a_0}{2},$$
$a_n$, $n=0,1,...$, $b_n$, $n=1,2,...$ - некоторые постоянные.

Линейная комбинация частных решений тоже решение
$$u(r,\varphi)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{r^n}{R^n}(a_n\cos n\varphi+b_n\sin n\varphi).$$
Пусть $a_0$, $a_n$, $b_n$, $n=1,2,...$ - ограниченные постоянные
$$ |a_0|, |a_n|, |b_n| < M,\quad M<\infty.$$
Тогда ряд
\begin{equation}                                                                                           %(4)
u(r,\varphi)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{r^n}{R^n}(a_n\cos n\varphi+b_n\sin n\varphi)
\end{equation}
является при $r<R$ решением уравнения Лапласа.

В самом деле, ряд (4) можно представить так:
\begin{equation*}
u(r,\varphi)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}Re\biggl\{\frac{(x+iy)^n(a_n-ib_n)}{R^n}\biggr\}.
\end{equation*}
Но ряд
\begin{equation*}
\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n-ib_n}{R^n}z^n=w(z),\quad z=x+iy
\end{equation*}
является степенным рядом с радиусом сходимости не меньшим, чем $R$. Отсюда следует, что при
$r<R$: $w(z)$ - аналитическая функция, а $u(r,\varphi)=Re\ w(z)$- гармоническая функция (ТФКП).

Если предположить равномерную сходимость ряда вплоть до границы круга $r=R$, то для граничных
значений $u(r,\varphi)=f(\varphi)$ мы будем иметь представление рядом Фурье
\begin{equation}
f(\varphi)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\varphi+b_n\sin n\varphi).              %(5)
\end{equation}
Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам
\begin{equation}
    \left\{                                                                                          %(6)
    \begin{array}{l}
    a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(\varphi)\cos n\varphi d\varphi,\ n=0,1,...~,\\
    b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(\varphi)\sin n\varphi d\varphi,\ n=1,2,...~.
    \end{array}
    \right.
\end{equation}
\textbf{Задача.}\\
Пусть $f(\varphi)$ - периодическая функция с периодом $2\pi$, причем $f\in C^2([0,2\pi])$.
Тогда
\begin{equation*}
|a_n|\leq\frac{const}{n^2}, \quad |b_n|\leq\frac{const}{n^2}.
\end{equation*}
Заметим, что эти неравенства обеспечивают сходимость рядов (4), (5).

Мы показали, что ряд (4) с коэффициентами (6) является в круге $r\leq R$ решением
задачи Дирихле для уравнения Лапласа (3):
\begin{equation*}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_{x,y}u=0, \\[2mm]
  u|_{R}=f(\varphi),
  \end{array}
  \right.
\end{equation*}
если $f(\varphi)$ достаточно гладкая.

Представим решение задачи (3) в другой форме.
Преобразуем ряд (4), воспользовавшись формулами (6):
\begin{eqnarray}                                                                                           %(7)
\left.
  \begin{array}{c}
  u(r,\varphi)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{r^n}{R^n}(a_n\cos n\varphi+b_n\sin n\varphi)=\\
  =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(\psi)d\psi+\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{r^n}{R^n}
  \int\limits_{0}^{2\pi}f(\psi)\cos n(\psi-\varphi) d\psi=\\
  =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(\psi)\biggl\{1+2\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{r^n}{R^n}
  \cos n(\psi-\varphi)\biggr\}d\psi=\\
  (\psi-\varphi=\sigma,\ z=\frac{r}{R}e^{i\sigma},\ |z|<1)\\
  =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(\psi)\biggl\{-1+2Re\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n\biggr\}d\psi=\\
  =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(\psi)\biggl\{-1+2Re\frac{1}{1-z}\biggr\}d\psi=
  \frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{f(\psi)(R^2-r^2)d\psi}{R^2+r^2-2Rr\cos(\psi-\varphi)}
  \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
Формула (7) называется интегралом Пуассона. Она дает решение задачи (3),
если $f(\varphi)$ - достаточно гладкая.

\textbf{Определение.}  Задача называется \textbf{корректной (по Адамару)}, если
она разрешима при любых начальных данных, принадлежащих к не\-ко\-то\-ро\-му классу,
имеет единственное решение и это решение непрерывно зависит от начальных данных.

Задача называется \textbf{некорректной}, если она разрешима не при любых начальных данных,
либо если она имеет неединственное решение, либо если нет непрерывной зависимости
решений от начальных данных.

Всякий физический процесс, развивающийся во времени, должен ха\-рак\-те\-ри\-зо\-вать\-ся
функциями, непрерывно зависящими от начальных дан\-ных.\\
Примеры некорректных задач:\\
а) задача Коши с данными на характеристике;\\
б) задача (6) из $\S$6 при $t<0$;\\
и) задача Коши
\begin{equation*}
  \left\{
  \begin{array}{l}
  u_{xx}+u_{yy}=0, \\[2mm]
  u|_{y=0}=\varphi_0(x),\\[2mm]
  u_{y}|_{y=0}=\varphi_1(x).\\[2mm]
  \end{array}
  \right.
\end{equation*}
\end{document}