2.2.Параллельные машины.Полиномиально разрешимые задачи
.pdf
Полиномиально разрешимые задачи |
Минимизация длины расписания |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время завершения работ |
|
|
Algorithm 5 (Решения P m||Cmax)
Инициализация. F0p0; 0; : : : ; 0q : 1, Fjp0; 0; : : : ; 0q : 0 @j ¥ 1, Прямой ход. Вычисление Fj
for j 1 Ñ n do
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
for t1 0 Ñ C do |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
: : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
for tm 0 Ñ C do |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Fjpt1; : : : ; ti; : : : ; tmq : " |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
ti pj; |
||||||||
|
Fj 1pt1; : : : ; ti pj; : : : ; tmq иначе. |
|||||||||||||||||
Пусть |
T |
t p |
t1; t2; : : : ; tm |
q |
q |
1 |
u. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
: Fnpt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти в |
T |
вектор p |
|
|
|
|
minP |
max ti. |
||||||||||
|
|
|
t |
t1 |
; t2 ; : : : ; tmq: |
max ti |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
t T |
|
|
i |
||||
Обратный ход. Восстановление решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
for j n Ñ 1 do |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
for i 1 Ñ m do |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
if Fjpt ; : : : ; t ; : : : t q Fj 1pt ; : : : ; t |
pj; : : : t q then |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
i |
m |
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
Jj назначить на Mi, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t : t pj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Минимизация длины расписания |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время завершения работ |
|
|
Теорема 7
Задача P m||Cmax разрешима с трудоемкостью, не
m |
q Opn |
m 1 |
m |
превосходящей OpnC |
|
pmaxq: |
Замечание 3
Алгоритм псевдополиномиален при фиксированном m, но с
увеличением числа машин трудоемкость стремительно растет. По всей видимости, лучшего (полиномиального по m)
алгоритма не существует: задача P ||Cmax NP-трудна в сильном смысле.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Минимизация длины расписания |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время завершения работ |
|
|
Динамическое программирование для P m|| °wjCj
Заметим:
достаточно рассматривать расписания, в которых на каждой машине работы выполняются в порядке W SP T :
wp1q |
¥ |
wp2q |
¥ ¥ |
wpniq |
; |
|
pp1q |
|
pp2q |
ppniq |
|||
|
|
|
|
|||
таким образом, расписание определяется разбиением J на множества J i работ, вып. на Mi.
Обозначим:
C некоторая верхняя оценка на длину оптимального
расписания. Например, |
n |
|
pj. |
||
C |
||
|
j°1 |
Fjpt1; t2; : : : ; tmq минимальное значение критерия для tJ1; : : : ; Jju при условии, что Mi освобождается в ti.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Минимизация длины расписания |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время завершения работ |
|
|
Идея алгоритма:
1 Упорядочим работы по W SP T .
2 Вычислим значения Fj äëÿ âñåõ j ¤ n è ti ¤ C. 3 Найдем минимум Fn.
4 Восстановим решение.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Минимизация длины расписания |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время завершения работ |
|
|
Algorithm 6 (Решения P m|| ° wjCj)
Инициализация. Упорядочить работы по W SP T .
Fjpt1; t2; : : : ; tmq : 8 @j ¥ 0, @i ¥ 1, @ti P t0; : : : ; Cu.
F0p0; 0; : : : ; 0q : 0. P : 0. Прямой ход. Вычисление Fj for j 0 Ñ n 1 do
for t1 0 Ñ P do
: : :
for tm 0 Ñ P do
|
Fj 1pt1; : : : ; ti pj; : : : ; tmq : min " |
Fj 1pt1; : : : ; ti pj; : : : ; tmq |
|||||||||||||||||||||||
|
Fjpt1; : : : ; ti; : : : ; tmq wjpti pjq |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(после циклов по ti) P : P pj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Обратный ход. Восстановление решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пусть pt ; t ; : : : ; t q arg min Fnpt1; : : : ; tmq. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 2 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
for j n Ñ 1 do |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
for i 1 Ñ m do |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
if Fjpt ; : : : ; t ; : : : t q |
Fj 1pt ; : : : ; t |
pj; : : : t q wjt then |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
i |
m |
1 |
i |
m |
|
|
|
|
|
i |
||||||||||||
|
Jj назначить на Mi, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t : t |
|
pj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Тахонов Иван Иванович |
|
Параллельные машины. Точное решение задач |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Минимизация длины расписания |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время завершения работ |
|
|
Теорема 8
Задача P m|| ° wjCj разрешима с трудоемкостью, не
m |
q Opn |
m 1 |
m |
превосходящей OpnC |
|
pmaxq: |
Замечание 4
Алгоритм псевдополиномиален при фиксированном m, но с
увеличением числа машин трудоемкость стремительно растет. По всей видимости, лучшего (полиномиального по m)
алгоритма не существует: задача P || ° wjCj NP-трудна в сильном смысле.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Минимизация длины расписания |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время завершения работ |
|
|
Литература к лекции
1 Brucker P. Scheduling algorithms разделы 5.1.2, 5.1.3
2Pinedo M. Scheduling. Theory, Algorithms, and Systems разделы 5.2, 5.3.
3P.Shuurman, G.Woeginger Approximation Schemes - A Tutorial
4S. Sahni. Algorithms for scheduling independent tasks // Journal of the ACM 23: 116 127 (1976).
5Gonzalez T., Sahni S. Preemptive Scheduling of Uniform Processor Systems // J. of the Association for Computing Machinery, Vol.25, No.1, 1978
6U. Schwiegelshohn. An alternative proof of the Kawaguchi-Kyan bound for the Largest-Ratio-First rule // Oper. Res. Lett. 39(4): 255-259 (2011)
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|