2.2.Параллельные машины.Полиномиально разрешимые задачи
.pdf
Полиномиально разрешимые задачи |
Кратчайшее расписание с прерываниями |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
|
|
Задачи Q|| °Cj è Q|pj 1| °wjCj
Док.-во Теоремы 3 подсказывает метод решения Q|| ° Cj. Пусть
si производительность Mi,
J i мн.-во работ, выполняющихся на Mi, 
ni |J i| количество работ на Mi,
pi1; pi2; : : : ; pini длит.-сти (нормативные) работ из J i â порядке вып. на Mi.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Кратчайшее расписание с прерываниями |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
|
|
Вклад работ из J i |
в целевую функцию равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Cj |
|
|
|
p1i |
pp1i |
p2i q |
|
pji |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
¸P |
i |
|
|
si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j¸1 |
|
|
|
|
||||||||
|
Jj J |
|
|
|
|
ni |
|
|
|
ni 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
p1i |
|
p2i |
|
|
|
pni i : |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
si |
|
|
|
si |
|
|
|
|
|
|
si |
|
|
|
|
||||||
Сам функционал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
ni |
|
|
|
|
ni 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
Cj |
|
|
Cj |
|
p1i |
|
p2i |
|
|
pni i : |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
j¸1 |
i¸1 |
¸P |
i |
|
|
i¸1 si |
|
|
|
si |
|
|
|
si |
|
|
|||||||||||
|
|
|
Jj J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждая величина pj входит в эту сумму с коэффициентом |
k |
|
|||||||||||||||||||||||||
si |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Jj назначена на Mi и вып. k-ой с конца.
По Лемме 1, длинным работам должны соответствовать маленькие коэффициенты.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Кратчайшее расписание с прерываниями |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
|
|
Algorithm 4 (Решения Q|| ° Cj)
1:Упорядочим работы по невозрастанию величин pj.
2:В ряду из mn элементов
|
1 |
; |
2 |
; : : : ; |
n |
; |
1 |
; |
2 |
; : : : ; |
n |
; : : : ; |
1 |
; |
2 |
; : : : ; |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
sm |
|||||||||
s1 |
s1 |
s1 |
s2 |
s2 |
s2 |
sm |
sm |
||||||||||
выбрать n наименьших (упор. их по неубыванию):
|
k1 |
¤ |
k2 |
¤ : : : |
|
kj |
¤ : : : |
kn |
: |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
si1 |
|
si2 |
|
sij |
sin |
|||||
3: Назначить работу Jj |
íà Mij |
kj-ой с конца. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Кратчайшее расписание с прерываниями |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
|
|
Теорема 5
Алгоритм 4 строит решение Q|| ° Cj ñ òðóä. Opnm lnpnmqq.
Доказательство. Очевидно.
Заметим только, что в ряду наименьших коэффициентов у дробей со знаменателем si
от 1 до некоторого ni (без пропусков), поэтому назначение корректно. 
Замечание 2
Подобным образом можно решить Q|pj 1| ° wjCj.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Кратчайшее расписание с прерываниями |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
|
|
Пример
Решим задачу Q|| ° Cj с параметрами: 
n 6, p p16; 12; 8; 8; 6; 4q.
m 3, s p1; 2; 4q.
Ищем 6 наименьших в ряду
11; 21; 31; 41; 51; 61; 12; 22; 32; 42; 52; 62; 14; 24; 34; 44; 54; 64:
Упорядочим: 14 ; 12 ; 24 ; 34 ; 11 ; 22 Расписание:
|
M1 |
|
|
|
J5: 6/1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M1 |
: J5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 |
J6 |
: 4/2 |
|
|
J2: 12/2 |
|
||||
M2 |
: J6 Ñ J2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M3 |
J4 |
: 8/4 |
J3: 8/4 |
|
J1: 16/4 |
|
||||
M3 : J4 Ñ J3 Ñ J1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
8 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Кратчайшее расписание с прерываниями |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
|
|
Задача R|| °Cj
Пусть
pij время обработки Jj íà Mi,
J i tJi1 ; Ji2 ; : : : u упор. мн.-во работ, вып. на Mi, 
ni |J i| количество работ на Mi.
Вклад работ из J i в целевую функцию равен: |
|
|
|
||||
|
Cj ni |
pi;i1 pni 1q pi;i2 |
1 pi;in |
|
: |
||
Jj¸PJ i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сама целевая функция: |
|
|
|
|
|
||
n |
m |
|
|
m ni |
|
|
|
|
Cj |
|
Cj |
pi;ik pni k 1q: |
|
||
j¸1 |
i¸1 |
¸P |
i |
i¸1 k¸1 |
|
|
|
|
|
Jj J |
|
|
|
|
|
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Кратчайшее расписание с прерываниями |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
|
|
Èäåÿ: сведем к задаче о назначениях.
Каждая работа может быть назначена в одну из nm позиций: быть k-ой с конца на машине Mi.
xj;pkiq " 1; åñëè Jj в позиции pk; iq 0; иначе.
Здесь k P t1; : : : ; nu, i P t1; : : : ; mu, j P t1; : : : ; nu.
При назначении Jj в pk; iq ц.ф. увеличивается на kpij. 
Задача принимает вид:
xj;pkiq kpij Ñ min;
$ i;j;k° |
|
txu |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
' |
|
xj;pkiq 1; @j |
||||||||||||||||
& |
|
i;k° |
||||||||||||||||
|
|
xj;pkiq ¤ 1; @k@i: |
||||||||||||||||
' |
|
°j |
||||||||||||||||
|
xj;pkiq P t0; 1u @j@k@i: |
|||||||||||||||||
% |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тахонов |
Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Кратчайшее расписание с прерываниями |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
|
|
Теорема 6
Существует алгоритм, строящий решение R|| ° Cj ñ трудоемкостью Opn3mq.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Минимизация длины расписания |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время завершения работ |
|
|
Псевдополиномиальные точные алгоритмы для
P m Cmax è P m °wjCj
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|
Полиномиально разрешимые задачи |
Минимизация длины расписания |
Псевдополином. точные алгоритмы |
Суммарное взвешенное время завершения работ |
|
|
Динамическое программирование для P m||Cmax |
|
Пусть |
|
|
C некоторая верхняя оценка на длину оптимального |
||
расписания. Например, |
|
n |
|
pj. |
|
C |
||
|
|
j°1 |
Введем функции: |
|
|
1; |
D допуст. расп. для tJ1; : : : ; Jju; |
|
Fjpt1; t2; : : : ; tmq &$ |
в котором Mi освобождается в ti; |
|
0 |
иначе. |
|
%
Вычислим значения Fj äëÿ âñåõ j ¤ n è ti ¤ C, а затем среди всех единиц функции Fn выберем ту, у которой наименьшая максимальная координата.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Точное решение задач |
|
|