3.4. Задача минимизации логических функций

Если в составе проектируемой схемы должны входить элементы И, ИЛИ, НЕ то представление функций в любой из рассмотренных канонических форм уже дает возможность построения такой схемы. Легко подсчитать, какое количество и каких элементов потребуется для реализации конкретной логической функции. На рассмотренном выше примере видно, что использование СДНФ даст более простую реализацию.

Принимая во внимание подобные проблемы оптимизации проектируемого устройства, можно утверждать, что в общем случае схема с меньшим количеством элементов обходится дешевле и более надежна в работе. Следовательно, независимо от применяемых при построении логических схем элементов, важным этапом синтеза является поиск такого вида логической функции, в котором имеется минимальное число логических операций над минимальным числом входных сигналов. Процесс поиска такого вида называется минимизацией функции и основывается на так называемых правилах склеивания:

в которых А и В – переменные или логические функции. Эти правила можно сформулировать следующим образом: дизъюнкция или конъюнкция двух переменных, отличающихся одно от другого только знаком отрицания для одной переменной, могут быть заменены одним выражением без той переменной, по которой они отличаются. Например:

Выражения, для которых возможно склеивание, называют соседними выражениями. Если в полученных канонических представлениях имеются соседние выражения, то соответствующие представления можно упростить с целью получения простой технической реализации

Выражение СДНФ из вышеприведенного примера можно упростить следующим способом

.

В случае сложных функций от большого числа переменных нахождение соседних выражений и их склеивание указанным выше способом становится затруднительным. Метод матриц Карно (диаграмм Вейча) облегчает процедуру склеивания благодаря тому, что соседние члены СДНФ или СКНФ, для которых возможно склеивание, размещаются на плоскости по соседству в географическом смысле. Для функций n переменных каждая составляющая канонической формы может иметь n соседей. Примеры матриц Карно приведены на рис. 3.2 - 3.4.

X₂ X₂ X₃

0 1 00 01 11 10

X₁ X₁

0 0 1 0 0 1 3 2

1 2 3 1 4 5 7 6

Рис.3.2 - Карты Карно для двух и трех переменных

X₃ X₄

X₁ X₂ 00 01 11 10

00

0 1 3 2

01 4 5 7 6

11 12 13 15 14

8 9 11 10

10

Рис. 3.3 - Карта Карно для четырех переменных

X₃ X₄ X₅

X₁ X₂ 000 001 011 010 110 111 101 100

00 0 1 3 2 6 7 5 4

01 8 9 11 10 14 15 13 12

11 24 25 27 26 30 31 29 28

10 16 17 19 18 22 23 21 20

Рис. 3.4 – Карта Карно для пяти переменных

Каждая клетка матрицы соответствует одной комбинации значений входных переменных. Код этих комбинаций подобран так, чтобы соседние клетки отличались значением только одной переменной, т. е. чтобы им соответствовали соседние выражения. Код с таким свойством называется кодом Грея. В построенную на основе такого кода таблицу вписываются символы, соответствующие значениям функции на определенных наборах входных переменных из таблицы истинности.

Если в двух соседних клетках заполненной матрицы Карно находятся одинаковые символы (0 или 1), то соответствующие этим клеткам выражения можно склеивать, что равносильно устранению переменной, которая в рамках склеиваемой группы меняет значения. Соседние клетки, образующие пары, объединяются замкнутой линией для обозначения возможности склеивания. Возможные варианты склеивания для функций четырех переменных приведены на рис. 3.5.

Рассмотрим пример. Пусть из таблицы истинности получена СДНФ и она минимизируется аналитическим методом посредством склеивания:

Матрица Карно для данного случая будет иметь вид, показанный на рис. 3.6.

Рис. 3.5 - Варианты склеивание для логической функции четырех переменных.

00 01 11 10

00

1 0 0 1

01 0 0 0 0

11 0 0 0 0

1 0 0 1

10

Рис.3.6 - Карта Карно для примера

Методика минимизации логических функций с помощью карт Карно используется при автоматизированном проектировании узлов современных ЭВМ и разработке логических моделей объектов и процессов горно-металлургического производства.