Лабораторная работа №5 Проверка основного уравнения динамики вращательного движения тела на приборе Обербека

Цель работы: проверить справедливость основного закона динамики вращательного движения твердого тела на примере маятника Обербека.

Приборы и принадлежности: крестообразный маятник Обербека, набор грузиков, штангенциркуль.

Теоретическое введение

Вращательным движением называют такое движение твердого тела, при котором все его точки описывают окружности с центрами, лежащими на одной прямой, являющейся осью вращения. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси характеризуется линейными величинами (линейное перемещение, линейная скорость и линейное ускорение), различными в данный момент времени для различных точек тела, и угловыми величинами (угловая скорость, угловое перемещение, угловое ускорение), одинаковыми для всех точек тела. Угловое ускорение твердому телу можно сообщить, действуя на него некоторым моментом силы. Напомним, что моментом силы относительно оси вращения называется произведение силы на её плечоr, т. е. на кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (рис.1). Ось вращения проходит через точку , перпендикулярную чертежу.

Таким образом, момент силы M=Fr. Величина полученного телом ускорения зависит не только от момента действующей силы, но и от так называемого момента инерции тела. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называют произведение массы этой точки на квадрат её расстояния до оси вращения

Рис.1.

r

J₀=. (1)

Момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции материальных точек, составляющих это тело

, (2)

где n –число точек, m_i- масса i-ой материальной точки,r_i –расстояние от i-ой точки до оси вращения.

Динамическая связь между моментом силы , моментом инерции I и угловым ускорением записывается в виде

(3)

Это уравнение выражает основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Сравнивая формулу (3) с уравнением динамики поступательного движения материальной точки , видим, что момент инерции имеет такой же смысл, как масса движения материальной точки, т.е. он характеризует инертность тела при его вращательном движении.

Рассмотрим два случая:

1.Если J=const, то для двух состояний вращающегося тела соотношение (3) записывается в виде . Эти соотношения имеют место, если справедливо равенство:

(4)

2.Если М=const, то выполнение соотношения (3) имеет место, если справедливо равенство:

. (5)

Для проверки основного закона динамики вращения тела надо проверить справедливость равенств (4) и (5). В данной работе для проведения эксперимента применяется крестообразный маятник.

Рис. 2.

Крестообразный маятник (рис.2) состоит из 4 спиц, вставленных во втулку, укрепленную на неподвижной оси. На спицах на равном расстоянии от оси могут закрепляться одинаковые цилиндрические грузы. На оси находится так же шкиф (диск), на который наматывается нить. К концу нити привязана платформа, на которую помещаются гири. Под действием веса платформы и гирь нить разматывается, и маятник вращается с некоторым угловым ускорением . Это ускорение будет постоянным, так как платформа с гирями создает постоянный вращающий момент с плечом r, равным радиусу диска. Платформа с гирями находится под действием двух противоположно направленных сил: силы тяжести и силы натяжения нити .

Следовательно, второй закон Ньютона для поступательного движения платформы можно записать так: ma=mg-T, где m – общая масса платформы и положенных на неё гирь. Отсюда сила натяжения равна Т=m (g-a).

Эта сила натяжения создает действующий на маятник вращающий момент

M=Tr=m(g-a)r. (6)

Используя связь между угловым  и линейным ускорениями а_, находим угловое ускорение маятника в виде

. (7)

Очевидно, что линейное ускорение окружных точек шкифа, соприкасающихся с нитью, равно ускорению, с которым движется нить. В свою очередь, ускорениеа можно найти из формулы равноускоренного поступательного движения

, (8)

где h -высота падения платформы с грузом. Система уравнений (6) - (8) полностью решает поставленную задачу.