- •Раздел II. Математическая логика
- •Глава 1. Алгебра логики
- •1.1. Объекты изучения алгебры логики. Булевы константы, переменные и векторы
- •1.2. Булевы функции, способы их задания. Элементарные функции. Алгебра логики, ее формулы
- •Задание функции при помощи вектора истинности
- •Матричный способ
- •Задание с помощью полного бинарного дерева
- •Формульное задание
- •1.3. Моделирование составных высказываний при помощи формул алгебры логики
- •1.4. Эквивалентность формул. Тавтологии. Законы логики. Двойственность
- •1.5. Специальные формульные представления булевых функций
- •1.5.1. Конъюнкции и дизъюнкции над множеством переменных. Нормальные формы
- •1.5.2. Конституенты единицы. Совершенные дизъюнктивные и веббовы нормальные формы
- •1.5.3. Конституенты нуля. Совершенные конъюнктивные и шефферовы нормальные формы
- •1.5.4. Полиномы Жегалкина
- •1.6. Минимизация нормальных форм булевых функций
- •1.5.1. Метод покрытий
- •1.6.2. Метод минимизирующих карт
- •1.7. Частично определенные функции. Их минимальное доопределение
- •Контрольные задания по теме функции алгебры логики. Нормальные формы. Полином жегалкина
1.5.2. Конституенты единицы. Совершенные дизъюнктивные и веббовы нормальные формы
Определение. Пусть функция f(х n) на наборе n = (1, ..., n) равна 1. Конъюнктивной конституентой единицы функции f на наборе n назовем конъюнкцию К = х11 ... хnn, где хi i= хi при i =1 и хi i = хi при i = 0 (i=1,…,n).
Аналогично веббовой конституентой единицы функции f назовем подстановку вида V = (х1 1 , . . . , хnn) .
И конъюнктивная и веббова конституенты единицы, соответствующие набору n, принимают значение 1 только на нем. На всех остальных наборах они равны 0.
Пример 1. Построить все конъюнктивные и веббовы конституенты единицы функции F, заданной таблицей истинности.
|
x |
y |
z |
F |
К1 |
К2 |
К3 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Решение.
Функция принимает значение 1 на наборах (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0). На наборе (0,0,1) конъюнктивная конституента единицы К1 = ху z , на наборе (0, 1, 1) К2 =х у z , на наборе (1, 1, 0) К3 = х уz . В таблице истинности даны векторы истинности конституент К1 — К3 . Они показывают назначение конституент — выделение одной из единиц в векторе истинности исходной функции.
Веббовы конституенты получаем из К1 — К3 с использованием двух преобразований: 1) инвертирования внутренних переменных в коньюнкциях и 2) замены конъюнкции функцией Вебба. В итоге получим все веббовы конституенты единицы функции F: V1 =(х, у,z); V2 =(х,у,z); V3 =(х, у, z).
Векторы истинности конституент V1 — V3 совпадают с векторами истинности К1 — К3 .
Определение. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) булевой функции f (х n) называют выражение вида:
f = К1 ... Кр ,
где К1 , ... , Кр — все конъюнктивные конституенты единицы функции f (х n).
Совершенной веббовой нормальной формой (СВНФ) булевой функции f (х n) называют выражение вида:
f = ( V 1 , ... , V р ),
где V1, ..., Vр — веббовы конституенты единицы функции f(х n).
СДНФ (как и все ДНФ) задают формульные выражения булевых функций в базисном наборе {, , }. СВНФ задает выражение функций в базисном наборе {, }. Так как (х) = (х, х), то данную формулу всегда можно представить в однофункциональном наборе {}.
Пример 2. Построить СДНФ и СВНФ ( с использованием наборов {, } и {}) функции f =(01010010) из Примера 1.
Решение.
1. Конъюнктивные конституенты единицы функции К1 — К3 построены в Примере 1. СДНФ получаем, логически складывая их:
f =xy z x y z x yz = (x y z ,x y z, x yz).
2. Веббовы конституенты единицы функции V1 — V3 также берём из Примера 1. СВНФ в базисном наборе {, } получаем, подставляя V1 — V3 в функцию Вебба и инвертируя её:
f = ( (x, y,z), (x,y,z), (x,y, z)) .
СВНФ в базисном наборе {}имеет вид:
f = [((x, y, (z, z)),(x, (у, y), (z, z)), ((х, x),(у, y), z)),
((x, y,(z, z)),(x,(у, y),(z, z)),((х, x),(у, y),z))].
Три полученных формульных выражения дают искомое решение задачи для булевой функции из примера 1.
Как и все ДНФ и ВНФ, их совершенные виды существуют только для функций, не равных тождественному нулю. В том случае, когда вектор истинности функции имеет только одну единицу, ее СДНФ и СВНФ являются вырожденными, т.е. состоят только из одной конституенты.