4 семестр / Задание №4 Численное решение волнового уравнения

Задание № 4

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Цель работы: изучение разностных схем для численного решения уравнений в частных производных гиперболического типа, численное решение одномерного волнового уравнения.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Распространение волн в одномерном приближении описывается уравнением

с начальными условиями

и краевыми условиями

Здесь х - координата, t - время, a - фазовая скорость волны; функция f(x,t) описывает влияние среды, т.е. поглощение или воз­буждение волн в среде.

Для решения воспользуемся неявной трехслойной разностной схемой

(1)

Здесь

а оператор

Разностную схему (1) можно преобразовать к виду

Полученное уравнение решается методом прогонки, как и в выполненных ранее работах. Прогонка строится в два этапа.

Первый этап - вычисление прогоночных коэффициентов по рекуррентным формулам (прямой ход прогонки):

Второй этап - вычисление значений , (обратный ход прогонки):

Вместо схемы (1) можно также воспользоваться более прос­той явной трехслойной разностной схемой

(2)

которая преобразуется в расчетную формулу

где с - число Куранта.

Данная схема устойчива при выполнении условия Куранта:

Для начала вычислений необходимо, помимо u(x,0), располагать значением u( x, τ ). Поскольку решение u(x, t ) на каждом временном шаге находится с погрешностью O(τ³) значение u( x, t) также необходимо иметь с той же погрешностью O( τ³). Для нахождения воспользуемся рядом Тейлора:

Из исходного уравнения следует, что

и из начальных условий

Окончательно имеем:

Затем из уравнения (1) находим значения u(x,t) в моменты времени t=2τ, 3τ и т.д.

В дальнейшем ограничимся случаем, когда f = 0, т.е. среда (внутренние источники) отсутствует. Таким образом, будут рассмат­риваться лишь свободные колебания и вынужденные колебания под действием краевой возбуждающей силы. Характерными временами задачи являются:

где T₀ - время прохождения волны вдоль системы, τ₀ - время прохождения волной шага h. Можно показать, что диапазоны длин волн λ и частот ν, которые могут наблюдаться в рас­сматриваемой системе, составляют:

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ μ₁(x)

1)

2)

3)

4)

5)

ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ μ₂(x)

1)

2)

3)

4)

5)

ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ μ_i(x) (i = 3,4)

(р_i = 0.2÷2, ν_i =1÷10).

1) 2)

3) 4)

5)

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Функции μ_i (i = 1 до 4) удобно оформить в виде подпрограмм - функций. Для хранения целесообразно отвести три одномерных массива по N+1 элементов в каждом, и после завершения очередного временного шага с помощью оператора цикла переписывать на место , а на место.

Значения l и a можно положить равными 1, а число пространственных шагов N, временной шаг τ и длительность счета Т рекомендуется выбирать из условий:

N=25- 100, τ = (0.2- 0.8) τ₀ , Т= (5-10) Т₀ .

Для наблюдения за ходом вычислений через каждые M =20 ÷ 100 шагов следует выдавать график .

Для проверки правильности программы рекомендуется предвари­тельно решить тестовую задачу, полагая

Решение этой задачи должно быть близко к стоячей волне вида

Блок-схема программы для явной схемы представлена на рис. 1. В блоке 2 вводятся параметры В цикле 3-4-5 задаются начальные распределения в моменты времени 0 и τ. Цикл 6-15 является основным в программе, в нём с шагом τ осуществляется изменение времени t. В этот цикл вложены циклы 7-8-9 и 12-13-14, в которых соответственно вычисляется значения в текущий момент времени и перезапись массивов для перехода к следующему временному шагу. В блоке 10 анализируется необходимость выдачи промежуточного распределения , которое осуществляется в блоке 11, если это необходимо. В блоке 16 выводятся полученные результаты.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать:

• формулы и параметры для конкретного варианта;

• текст программы;

• результаты решения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каков порядок погрешности разностной схемы (1)?

2. Покажите, что разностная схема (1) безусловно устойчива.

3. Как строится решение разностной схемы (1)?

4. Изобразите расположение узлов ("шаблон"), на котором по-

строена разностная схема (1)?

5. Каков порядок погрешности разностной схемы (2)? 6. Получите условие устойчивости разностной схемы (2). 7. Изобразите расположение узлов, на котором построена разностная схема (2).

8