4 семестр / Задание №3 Численное решение уравнения теплопроводности в прямоугольнике

Задание №3

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕ­НИЯ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

Цель работы: изучение разностных схем для численного решения двумерного уравнения теплопроводности, численное решение уравне­ния теплопроводности в прямоугольнике по явной схеме.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Распространение тепла в прямоугольнике описывается уравнением теплопроводности

(1)

(0 ≤ x ≤ l_x , 0 ≤ y ≤ l_y , 0 ≤ t ≤ T )

с начальным условием

u

(2)

(x,y,0)=u⁰(x,y), (0 ≤ x ≤ l_x , 0 ≤ y ≤ l_y )

и краевыми условиями

u(0,y,t)=ψ₁(y,t) , u(l_x,y,t)=ψ₂(y,t),

u

(3)

(x,0,t)=ψ₃(x,t), u(x,l_y,t)=ψ₄(x,t), (0 ≤ t ≤ T ).

Здесь u — температура, x,y – координаты, t – время, а² — коэффициент теплопроводности, функция f(x,y,t) описывает внутренние источники тепла.

Для решения воспользуемся явной двухслойной разностной схемой

(4)

где

Разностная схема преобразуется в расчётную формулу

(5)

которой находится решение на следующем временном шаге в момент t+τ.

Схема (4) устойчива при условии

(6)

.

В частном случае, когда h_x=h_y=h, условие устойчивости принимает вид

.

Для дальнейшего введём обозначение ступенчатой функции

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

ВАРИАНТЫ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

ВАРИАНТЫ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ

(i=1,2)

ВАРИАНТЫ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ

(i=3,4)

ВАРИАНТЫ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА

где u⁰(x,y) – одно из возможных начальных условий, указанных выше.

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Функции f, u⁰, ψ целесообразно оформить в виде подпрограмм – функций. Для хранении и можно отвести два двумерных массива размерности (N+1)(M+1), хотя при более искусном программировании достаточно одного двумерного массива размерности (N+1)(M+1) и одного - двух одномерных рабочих массивов размерности N+1. Число пространственных шагов N, M должно составлять несколько десятков, временной шаг τ следует выбирать равным (0.2÷0.8)τ_max, где τ_max дается формулой (6). Число временных шагов N_t следует выбирать таким, чтобы процесс успел установиться, полагая, например,

Для наблюдения за процессом целесообразно через несколько десятков шагов τ выводить на экран распределение температуры u(x,t) в исследуемой области. Как альтернативу можно вывести распределение u(x,y,t) вдоль средней линии y=l_y/2. Для этого надо опи­сать вспомогательный одномерный массив v , имеющий N +1 элементов, перед выдачей пересылать в него значения u(j,M/2) (j = 0,1,...N).

Для проверки программы рекомендуется предварительно решить тестовую задачу, полагая

При этих данных установившееся распределение температуры (при больших t ) имеет вид

,

а вдоль средней линии y = 0.5 решение имеет вид параболы

с вершиной u=1 в точке x = 0.5.

Блок-схема программы представлена на рис. 1.

В блоке 2 вводятся параметры . В цикле 3-4-5 задаётся начальное распределение потенциала в области. Цикл 6-13 является основным в программе, в нём с шагом τ осуществляется изменение времени t. В этот цикл вложены циклы 7-8-9 и 10-11-12, в которых соответственно задаются граничные условия и вычисляется распределение потенциала внутри области в текущий момент времени. В блоке 14 выводятся полученные результаты.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА

Отчет должен содержать:

• формулы и параметры для конкретного варианта;

• текст программы;

• результаты решения и графики.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каков порядок погрешности разностной схемы (4)?

2. Получите условие устойчивости (6 ) используя спектральный критерий.

3. Как строится решение разностной схемы (4)?

4. Изобразите расположение узлов ("шаблон"), на котором построена разностная схема (4).

5. Каков порядок числа арифметических операций, требующихся для решения задачи с использованием расчетной формулы (5)?

7