|
|
|
|
P(x,t) |
|
(t f |
) P0 |
|
|
|
x |
t t f
Так как P0 обычно полагают равным -1, условие трансверсальности принимает следующую |
||||
|
|
|
|
|
|
|
P(x,t) |
|
|
|
|
|
||
форму: (t f |
) |
|
|
t t f |
|
|
x |
|
|
3.Поведение гамильтониана вдоль оптимальной траектории.
У нас есть выражение для гамильтониана системы вдоль оптимальной траектории. Учитывая, что
гамильтониан исходной и приведённой системы связан между собой следующим образом:
ˆ |
P |
H H P0 |
t |
можем получить выражение для гамильтониана исходной системы. Когда tf не задано,
|
|
|
|
|
|
|
t f |
|
H |
|
|
P(x, t) |
[ |
||||||
H (x, u |
* , , t) P0 |
|
|
|
|||||
|
t |
||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Когда tf задано, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P(x, t) |
|
|
P(x,t) |
|||||
H (x,u * |
, |
,t) P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t |
0 |
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
P 2 ]dt
t 2
|
|
t t f |
(x, |
|
l |
|
|
|
||||
|
(x, t) |
|||||||
i |
|
i |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
i 1 |
|
t |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t f |
|
H |
|
|
|
|
|||||
u |
* , ,t) |
|
t t f |
|
[ |
|
||
|
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t f
P P2 ]dt
0 t 2
Замечание:
Если рассматривается задача Майера, в которой функционал состоит из одной терминальной составляющей, то гамильтониан и функция Гамильтона совпадают.
Поэтому все выражения для гамильтониана будут справедливы и для функции Гамильтона. Других различий между задачей Майера и только что рассмотренной задачей нет.
Сформулируем общий принцип максимума.
Пусть дана динамическая система, которая описывается дифференциальным уравнением вида
|
|
|
x |
f (x,u,t ) |
|
|
|
|
Задана область начальных и конечных состояний S0 и Sf и допустимы х управлений U.
Если — оптимальный процесс, в смысле минимума функционала
|
t f |
|
|
|
|
||
J P(x(t f |
),t f ) L(x,u,t)dt |
(+) |
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
P0 0 , относительно которых оптимальная траектория |
то найдётся |
(t) 0 |
и постоянная |
определяется решением следующей системы дифференциальных уравнений
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
где H — гамильтониан системы, имеющий вид H P0 L(x,u,t) T |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Также выполняются следующие условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Условие максимума H (x,u |
* , ,t) |
|
H (x,u, ,t) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
u u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kl |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t0 ) |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Условия трансверсальности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
P(x,t) |
|
|
l |
|
i |
i (x,t) |
|
|||||
|
|
|
|
|
(t f |
) P0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t f |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
t t f |
i |
1 |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x,u,t)
3. Поведение |
гамильтониана вдоль оптимальной траектории определяется соотношением |
ˆ |
P |
H H P0 |
t |
если tf не задано, формула А если tf задано формула В
Замечание. Если ставится задача о максимуме функционала (+), то формула принципа максимума остаётся, но постоянная P0 полагается неотрицательной (обычно её кладут равной единице).
22