u* (t) u * sign( T b )
j j max j
Чтобы ее определить, нужно решить систему дифференциальных уравнений:
x(t)
(t)
Ax(t) b j u j max
j
AT (t)
* sign( T (t)b )
j
при граничных условиях x(t0) и x(tf) = 0. Найдя из нее ψ(t) и подставив в выражение оптим-го управления, мы получаем u*j как ф-цию времени.
Т.о., задача определения оптимального управления сводится к решению нелинейной системы уравнений. Для высоких порядков она решается численно. Если n = 2, то решение может быть получено с помощью метода фазовой плоскости.
11
7.Условия трансверсальности.
В общем случае может быть задано множество начальных и множество конечных состояний системы
|
|
|
|
|
|
x(t0 ) S0 |
x : i |
(x) 0,i 1,2,..., k n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t f ) St |
x : i (x) 0,i 1,2,...,l n |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
Необходимо найти управление u*, переводящее систему из области S |
0 |
в область |
S за мин. время. |
||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
f |
В данном случае для оптимизации процесса необходимо, чтобы существовала непрерывная векторная функция (t) , удовлетворяющая не только условию максимума, но и условиям
трансверсальности в обоих концах траектории x (t).
|
|
|
|
Условия трансверсальности состоят в том, чтобы вектор (t) был ортогонален плоскостям Г0 и Г f |
|||
, касательным к областям S0 |
и Stf соответственно в начале и в конце траектории. Будем считать, что |
||
функции ограничений i и i |
непрерывны и непрерывно дифференцируемы по x. Предположим так же, |
||
что области S0 и Stf ограничены, замкнуты и выпуклы. |
|||
|
|
|
|
Рассмотрим, каким условиям должна удовлетворять функция (t), если начальная точка |
|||
принадлежит области начальных состояний S0 а конечная точка является началом координат. |
|||
Т.к. S |
0 |
— замкнутое множество, точка x(t0 ) является граничной точкой этого множества: если бы |
|
|
|
|
она таковой не была, то потребовалось бы время на то, чтобы выйти за границу множества, а это было бы не оптимально.
Пусть x(t0 ) — начальная точка оптимального процесса. Время движения из этой точки в конечную T=tf-t0. Построим область достижимых состояний, соответствующих времени T .
Т.о. получается, что начальная точка x(t0 ) является граничной точкой двух множеств: множества
исходных и множества достижимых за время T состояний.
По теореме Хана-Банаха, два выпуклых и непересекающихся множества могут быть разделены одной гиперплоскостью. Если эти области имеют одну общую точку, то данная гиперплоскость
является опорной к областям в этой точке. |
|
||||
Проведём |
гиперплоскость Г. Если |
гиперплоскость Г рассматривать |
как опорную к области |
||
|
|
|
|
|
|
достижимых состояний, то нормалью к этой гиперплоскости будет вектор nX |
(t0 ) . |
||||
|
|
|
|
|
0 |
Найдём связь между nx |
и нормалями к ограничениям i : Нормали будут направлены внутрь S0, т.к. |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S0 : i (x) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
1 x 1..... k x k , 1 ,…., 1 |
0 |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
Для тех ограничений, которые неэффективны по теореме Куна-Таккера, i 0 . Тогда получаем
12
|
|
|
|
k |
i (x) |
||
nx |
(t0 ) i |
|
|
|
0 |
i 1 |
x |
|
|
|
Если движение начинается из точки x(t0 ) и заканчивается в области x(t f ) , то условие будет вот таким:
|
|
|
l |
i (x) |
|
(t f ) i |
|
|
|
i 1 |
x |
Совокупность этих двух условий называется условиями трансверсальности.
Замечание: если конечная область является точкой, то (t f ) выбирается произвольно. Если область
цели — всё фазовое пространство, то (t f ) =0, так как все коэффициенты i будут нулевыми (а все ограничения, соответственно, неэффективными).
13
8.Принцип максимума для задач управления стационарными системами с интегральным критерием качества.
Задачи управления с интегральным критерием качества:
t f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J L(x,u,t)dt |
Функция L непрерывна по своим аргументам и имеет непрерывные частные |
|||||
t |
|
|
|
|
|
|
производные. |
L |
и |
L |
. Если функция L=1, то задача оптимального быстродействия. |
||
|
|
t |
||||
|
|
x |
|
|
Условие принципа максимума для стационарных систем:
Задачи управления с интегральным критерием качества, когда функционал, область цели и уравнение состояния не зависят явно от времени.
|
|
|
f (x,u) . |
Пусть состояние динамической системы описывается нелинейным диф. уравнением вида: x |
Заданы обл. начального состояния S0 и конечного Sf. Требуется определить условия, кот. удовл. Оптимальное управление из области допустимых и траекторию, соответствующую оптимальному управлению, удовлетворяющую граничным условиям.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t0 ) S0 |
, x(t f ) S f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагаем, что конечный момент времени t не задан. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Предположим, что L не зависит явно от времени и положительна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. L(x,u,t) L(x,u) 2. |
L(x,u,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Переходим от некоторого реального времени t к некоторому фиктивному времени . d |
||||||||||||||||
L(x,u)dt . С |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
f (x,u) |
. |
( |
dx d |
|
dx d |
). Тогда функционал |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
учетом этого исходная система диф.ур. примет вид: x( ) |
dt d |
d |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
L(x,u) |
|
|
|
|
dt |
|
|
|||||
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно принимает вид: |
J d (*) – свели к задаче оптимального быстродействия. |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перенесем полученные условия для задач оптимального быстродействия на более широкий класс задач.
|
|
|
|
|
* ( ) ) оптимальный процесс в смысле min формулы(*), тогда он удовлетворяет принципу |
||||||||||||||||||
Пусть ( x* |
( ),u |
||||||||||||||||||||||
максимума для задачи оптимального быстродействия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx( ) |
|
H (x,u |
* , ) |
|
|||
1. |
Существует функция ( ) 0 |
, относ. кот. вып. условия: |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
* ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d ( ) |
|
H (x,u |
* , ) |
; где |
H |
T |
( ) f (x,u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
d |
|
|
|
|
* ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
L(x,u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|||||
2. |
Выполняется условие максимума: H (x,u* , ) max H (x,u, ),u |
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
Вдоль оптимальной траектории функция Гамильтона имеет следующий вид: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
H (x,u |
*, ) P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Выполняется условие трансверсальности.
Введем в рассмотрение функцию структуры |
|
|
0 , подставим выр-е для ф-ии Гамильтона |
||||||||
H (x,u*, ) P |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
T ( ) f (x,u* ) |
P0 |
0 (1) |
|
|
|
|
|||||
|
|
* |
) |
|
|
|
|
|
|||
|
L(x,u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 T |
f (x,u |
* ) P L(x,u |
* ) (x,u |
*, ) (2) Эта функция наз. Гамильтонианом системы с интегральным |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
критерием качества. Гамильтониан = 0 только вдоль оптимальной траектории. В общем случае, когда
нет зависимости от времени: (x,u, ) T f (x,u) P0 L(x,u) (3).
Введение Гамильтониана позволяет обобщить условие максимума, т.е. можно сказать, что если (
|
|
* ( ) )-опт. процесс, то должны выполняться следующие условия: |
x* ( ),u |
||
|
|
14 |
1.Должна существовать функция ( ) 0 , для кот. справедливы след. соотн-ия: а)
dx(t)
dt
2.
3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H (x,u |
* , ) |
|
d (t) |
|
H (x,u |
* , ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|||||
Выполняется условие максимума: H (x,u* , ) max H (x,u, ),u |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гамильтониан вдоль оптимальной траектории =0. H (x,u* , |
) 0 |
4.Выполняется условие трансверсальности.
Проверим (1а):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dx( ) |
|
|
H (x,u |
* , ) |
|
|
|
|
T ( ) f (x,u* ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
T ( ) f (x,u* ) P L(x,u |
|
|
(x,u |
* |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
P0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
0 |
|
|
|
L 1 (x,u |
* ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
L(x,u |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
L(x,u |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|||||||||||||||||||
Перейдем от условного времени к реальному времени t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x( (t)) x(t),u( (t)) u(t), ( |
(t)) (t), d L(x,u)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx(t) |
|
|
|
|
1 |
|
(x,u* , |
) |
|
dx(t) |
|
|
|
(x,u |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
* )dt |
L |
(x,u |
) |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- условие 1а выполняется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L(x,u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Проверим (1б): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
T |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
d( ) |
|
|
|
H (x,u |
, ) |
|
|
( ) f (x,u |
|
|
|
|
|
( ) f (x,u |
|
L( x, u ) |
|
|
|
( |
f ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ L(x,u* ) |
|
|
P |
|
|
|
|
/ L |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x,u |
|
) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
) |
|
(x,u* , |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
L |
(x,u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (t) |
|
|
1 |
|
(x,u |
* , ) |
|
d (t) |
|
(x,u* , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
переходим от к t: |
|
|
|
|
|
|
|
L |
(x,u |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- условие 1б выполняется. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x,u* )dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
, |
|
|||||||||||||
Проверяем усл. 2: H (x,u* , |
) |
max H (x,u, ) ,следовательно, |
H (x,u* |
, ) P |
H (x,u, ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
T ( ) f (x,u) |
P0 |
T ( ) f (x,u |
P0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
L(x,u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x,u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T ( ) f (x,u* ) P L(x,u |
|
|
(x,u |
* , ) |
0 |
T ( ) f (x,u) |
P0 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим прав.часть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x,u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x,u |
|
|
|
|
|
L(x,u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
T ( ) f (x,u) |
P L(x,u) 0 (x,u, |
) |
0 (x,u*, ) (x,u, |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(x,u* , |
) |
|
max (x,u, ),u U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Усл. 3: Гамильтониан вдоль опт. траектории=0, это следует из его вывода и основывается на усл.2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Усл. 4: Т.к. в условие трансверсальности ни ф-ция Гамильтона ни Гамильтониан не входят, то они |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
полностью сохр. свой вид: (t0 ) i |
|
|
|
|
|
|
|
|
(t f ) |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, )
)
Замечание1: Мы получили условие max в предположении, что |
L(x, u) 0 |
, но они выполняются и в общем |
|
|
|
случае. |
|
|
Замечание2: Const P0 обычно полагают = -1. P0=-1 |
|
|
15
9.Вывод условий принципа максимума для нестационарных задач управления с интегральным критерием качества.
Пусть состояние динамической системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением
вида x = f ( x , u ,t)
А интегральный критерий качества зависит от времени:
t f
J L(x, u, t)dt
t0
Будем предполагать, что область цели тоже меняется со временем(нестационарна):
|
|
|
не задано. |
S f (t) x : (x,t) 0 Считаем, что конечное время t |
f |
||
|
|
|
Надо получить условия, которым удовлетворяет оптимальный процесс.
Введём в рассмотрение дополнительную переменную состояния, характеризующую изменение времени xn+1=t с начальным условием xn+1(t0)=t0.
Тогда исходная система дифференциальных уравнений примет вид
|
|
|
|
) |
x |
f (x,u, x |
|||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x n 1 |
|
|
||
|
t f |
|
|
|
|
|
|
||
J L(x, u, t)dt |
|
|||
|
t0 |
|
|
|
S f (t) x : (x, xn 1 ) 0
Введём в рассмотрение расширенный вектор состояния из (n+1) компоненты.
x(t), z xn 1 (t)
Тогда задачу можно сформулировать как задачу оптимального управления системой вида
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
f Z (z,u) |
|
|
|
f |
|
|
f Z |
|
|
|
1 |
|
t f |
|
J L(Z |
по интегральному критерию качества
, u)dt
t0
Когда область цели задаётся так: S f {Z : i (Z ) 0}
Мы свели нашу задачу к рассмотренной ранее стационарной системе, решение которой уже имеется. |
|
||||||||||||||||
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) 0 |
|
P0 |
0 |
Если (z(t),u |
(t)) — оптимальный процесс, то найдётся такая функция z |
и константа |
|||||||||||||||
такие, что будут выполнятся следующие условия: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
) |
max |
H |
|
|
|
) |
|
|
|
|
||
1.Условие максимума H (z,u |
* , |
z |
z |
(z,u, |
z |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
u u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
) i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.Условие трансверсальности z |
(t f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как область начальных состояний от времени не зависит, условие трансверсальности в начале траектории не рассматривается.
3.Оптимальная траектория определяется решением системы канонических дифференциальных уравнений
|
|
H z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Гамильтониан вдоль оптимальной траектории |
H |
|
|
) =0 |
|||||||
z |
(z,u |
* , |
z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем эти условия по отношению к переменным исходной задачи
16
1.Условие максимума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||||
z |
P L(z,u) |
T |
f |
z |
(z,u) |
P L(z,u) T f (z,u) |
n 1 |
P L(x,u, x |
n 1 |
) T |
f (x,u, x |
n 1 |
n 1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(*) где z |
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Так как n 1 |
явным образом от управления не зависит, |
|
условие максимума для Hz эквивалентно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условию максимума исходной системы H (z,u* , ,t) max |
|
z |
(z,u |
* , ,t) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.Условие трансверсальности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Распишем |
|
условие |
|
трансверсальности, |
|
учитывая |
|
компоненты |
расширенных |
векторов |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
i (x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(t f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(t |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
l |
|
|
i |
(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S f |
,t t f Условие трансверсальности исходной системы будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
i (x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(t f ) |
i |
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S f |
(90) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1(t f ) |
l |
|
|
(x,t) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i |
1 |
|
|
t |
|
|
t |
t f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Распишем условие 3а), учитывая компоненты расширенных векторов.
|
|
H z |
|
|
|
|
H |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
H |
|
|
|
|
||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||
xn 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(следует из (*))
Распишем условие 3б)
|
|
H z |
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
n 1 |
|
H z |
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn 1 |
xn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(тоже следует из (*)). Тогда |
|
и n 1 |
|
|
|
|
|
(91) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
xn 1 |
|
t |
|
|
|
4.Из |
условия |
|
4 |
следует, |
что |
гамильтониан |
расширенной |
системы будет определяться как |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H z |
H ( x, u |
* , , t) n 1 . =0 Находим из этого соотношения чему будет равен гамильтониан |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
исходной системы: |
H ( x, u |
* , , t) n 1 |
(92) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t f |
H d |
|
Проинтегрируем выражение (91): n 1 (t f ) n 1 (t) |
(93) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Выразим из полученного выражения функцию ( n 1 ) .
t f |
H |
l |
|
n 1 (t) n 1 (t f ) |
d i |
||
|
|||
t |
i 1 |
|
|
|
t f |
|
|
i (x,t) |
|
t t f |
|
H |
d |
|
|||||
t |
|
|
|||
|
|
t |
|
Подставим функцию n 1 (t) в выражение (92):
17
|
|
l |
|
||
H (x, u |
* , , t) i |
i 1
|
|
|
t f |
l |
i (x, t) |
|
t t f |
pdifH d , где i |
|
|
||||
t |
|
|||
|
|
t |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i (x,t) |
|
t t f -условие |
|
||
t |
|
|
|
|
трансверсальности для n 1 . Получили выражение для гамильтониана вдоль оптимальной траектории нестационарной задачи. Если считать, что конечное время tf задано, условие принципа максимума
сохранится за исключением 4-го условия. Так как время фиксировано, а область цели связана с конечным временем движения системы, считаем, что в задаче с фиксированным временем область цели от времени не зависит.
Подставим значение для n 1 |
из (92) в соотношение (93). Тогда имеем |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t f |
H |
|
|
|
||||||||
H (x, u |
* , |
, t) H (x, u |
* , ,t) |
|
t t f |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
Отсюда видно, что если задача нестационарна с фиксированным временем движения, то для этой задачи
H |
=0, и, следовательно, гамильтониан вдоль оптимальной траектории будет константой. |
|
|
|
|
|
|
|
const |
|
|||||
H (x,u |
* , |
,t) H (x,u |
* , ,t) |
|
|
|
|
|
|
|
t t f |
Вывод: для нестационарных задач управления с интегральным критерием качества, если конечное время нефиксированно, гамильтониан как функция времени равен нулю, а если фиксированно — то постоянной.
18
10.Терминальные задачи управления.
В терминальных задачах управления критерий качества включает в себя терминальную оценку
|
|
|
|
P(x(t f ),t f |
) , которая характеризует статические свойства системы свойства систем, их ошибки. |
|
|
Пусть состояние динамической системы описывается дифференциальным уравнением вида |
|||
x(t) = |
|||
|
Критерий качества включает в себя терминальную и интегральную составляющую: |
||
f (x,u,t) . |
|||
|
t f |
|
|
|
|
||
J P(x(t f ), t f ) L(x, u, t)dt |
|
||
|
t0 |
|
Будем считать, что конечное время tf не задано, а функция P по крайней мере дважды непрерывно
дифференцируема по x и по t.
В силу этого, P можно представить следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t f |
|
|
PT |
|
|
|
|
P |
|
|
||||
P(x(t f ), t f |
|
) |
P(x(t0 ), t0 ) |
( |
|
|
|
f (x, u, t) |
|
t |
L(x, u, t))dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Подставим это выражение в функционал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Так как t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
и x(t0 ) заданы, то P(x(t0 ),t0 ) =const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Управление, минимизирующее данный функционал от константы не зависит. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||
данную |
|
|
задачу |
|
мы |
|
можем |
рассматривать |
как |
|
задачу |
управления с функционалом |
|||||||||||||||||
|
|
t f |
|
|
T P |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
J ( |
|
|
|
f (x,u,t) |
|
t |
L(x,u,t)) dt |
|
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
t0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задача свелась к задаче с интегральным критерием качества, решение которой уже известно. |
||||||||||||||||||||||||||||
Запишем условие принципа максимума для приведённой задачи. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
* |
(t)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть |
(x |
(t),u |
— оптимальный процесс, который переводит систему из состояния x(t0 ) в |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
||
x(t f |
) . Тогда |
|
найдётся |
функция, |
(t) 0 |
и |
const |
|
P0 |
для |
которых оптимальная траектория |
||||||||||||||||||
определяется решением следующей системыДУ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
H |
|
|
и — гамильтониан и допустимая функция для задачи с критерием качества(*). |
||||||||||||||||||||||||||
Гамильтониан для приведённой задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T P |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
T |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
P0 |
|
f (x, u, t) P0 |
|
|
P0 L(x, u, t) z |
f (x, u, t) |
|||||||||||||||||
H (x, , u, t) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P |
|
|
T |
|
|
|
|
P0 |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) |
|||
(P0 |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
) |
|
f (x, u, t) |
P0 L(x, u, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Также выполняются следующие условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. |
Условие максимума H (x,u*, ˆ ,t) max |
|
H (x,u, ˆ ,t) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
i (x, t) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Условие трансверсальности (t f |
) i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
x |
|
|
3. Поведение гамильтона вдоль оптимальной траектории. Если tf не задано:
19
ˆ * |
|
l |
|
, ˆ , t) i |
|||
H (x, u |
i 1
|
|
|
t f |
ˆ |
|
i (x, t) |
|
|
|
H |
d |
|
|
t t f |
|
||
x |
|
|
t |
|
если tf задано: |
|
|
|
|
|
ˆ * |
|
ˆ * |
|
t f |
ˆ |
|
, ˆ |
, ˆ , t) |t t f |
|
H |
d |
||
H (x, u |
, t) H (x, u |
|
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
(t) P0 |
P |
Введём в рассмотрение функцию следующего вида: |
(t) ˆ |
|
|
|
|
|
x |
С учётом этой функции H (**) примет следующий вид |
ˆ |
|
|
H H (x,u, , t) |
P P
0
x
Где H — гамильтониан исходной задачи, который определяется следующим образом: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H (x,u, ,t) |
T (t) f (x,u,t) P L(x,u,t) (***) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим, какому условию удовлетворяет вектор (t). Для этого продифференцируем условие его по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
H |
|
|
|
|
P H |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
P |
H |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
времени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
P0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P0 |
|
|
|
P0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
(t) (t) P0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t x |
|
|
x |
|
|
t x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x t |
|
t x |
x |
||||||||||||||
Таким образом, получили условие (б) для исходной задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Получим условие (а). Из соотношения (***) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
f (x,u, t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, условие (a) также получено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1. |
Рассмотрим, |
какой вид принимает условие максимума по отношению к гамильтониану исходной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
системы. |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Есть условие |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
H (x,u , ,t) max u u |
H (x,u, ,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
для приведённой системы. А так как гамильтонианы исходной и приведённой системы связаны |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
между собой соотношением |
|
H H |
P0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
причём управление в |
|
|
не входит, то условие максимума сохраняется и для гамильтониана |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
исходной системы H (x,u* , ,t) max |
|
H (x,u, |
,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Выведем условие трансверсальности для исходной системы. Есть условие трансверсальности для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
i (x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
приведённой системы ˆ (t f |
) i |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t f |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из него необходимо вывести условие трансверсальности для исходной системы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x,t) |
|
|
l |
i (x,t) |
|
|
|||
|
|
P |
: (t f |
) P0 |
|
|
|
i |
|
|
t t f |
|
|
|
|
|
|||||||||
Воспользовавшись (t) ˆ (t) P |
|
|
t t |
|
||||||||
x |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
i 1 |
x |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
Если рассматривается двухточечная задача, то есть область цели — точка, то условие трансверсальности определяется только терминальной составляющей
20