gos / Гетманов3

Заметим, что для нечётных N cреди полюсов, лежащих в левой полуплоскости, имеется один действительный, который равен

aN ca .

Если N – чётное, то полюса, с учётом (6.4.3) вычисляются по формуле

на основании которых для чётных N все 2N полюса ar могут быть найдены по формуле

Полюса (6.4.5), лежащие в левой полуплоскости, определяются для номеров r, удовлетворяющих неравенству

N2 r 32N 1.

Введём обозначения сr ( ar *ar ), dr ar *ar , где ar , *ar –

комплексно-сопряжённые полюса из (6.4.4) или (6.4.5). Тогда соответствующая этим полюсам составляющая ПФ от пары комплекс- но-сопряжённых полюсов будет иметь вид

ПФ для аналогового низкочастотного фильтра-прототипа для нечётных N представится в виде произведения составляющих ПФ от пар комплексно-сопряжённых полюсов и одного действительного полюса

r ( N 1)/2

206

ПФ для аналогового низкочастотного фильтра-прототипа для чётных N представится следующей формулой:

r N /2

Нетрудно видеть, что коэффициент усиления АФБ на нулевой частоте при р 0 равняется единице.

6.4.2. Синтез низкочастотного ЦФ Баттерворта

Процедура синтеза включает следующие этапы:

1) задание частоты среза сd , интервала дискретизации T и

значения порядка N для синтезируемого низкочастотного ЦФБ; 2) вычисление частоты среза аналогового фильтра-прототипа на

основе формулы (6.3.2) с учётом интервала дискретизации T

са tg( cdT /2);

3)расчет параметров низкочастотного АФБ, являющегося фильтром-прототипом, – вычисление полюсов и формирование его передаточной функции;

4)перевод низкочастотного АФБ с помощью билинейного z- преобразования в ЦФБ.

Рассмотрим случай нечётных N. Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа будет формироваться из одного вещест-

венного полюса и (N 1) / 2 пар комплексно-сопряжённых полю-

сов и представится формулой (6.4.6). Применим билинейное z- преобразование к (6.4.6), получим ПФ для ЦФБ

Рассмотрим случай чётных значений N. Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа будет формироваться из N/2 пар

207

комплексно-сопряжённых полюсов и представится (6.4.7). Применим билинейное z-преобразование к (6.4.7), получим ПФ для ЦФБ

Разберём численный пример синтеза низкочастотного ЦФБ с параметрами cd 5; T 0, 2 и порядком N 3. Аналоговая частота среза примет значение са tg( cdT /2) 0,546. Аналоговый

фильтр-прототип в соответствии с (6.4.6) имеет три полюса, которые лежат в левой комплексной полуплоскости:

Применим билинейное z-преобразование к (6.4.10), получим передаточную функцию ЦФБ H1(z) или в форме H1(z 1) :

На рис. 6.4.2 показана функция квадрата АЧХ H1( j T ) 2 для синтезированного низкочастотного ЦФБ, полученная в результате

тезированном ЦФБ реализовалась заданная частота среза.

Рис.6.4.2. Квадрат АЧХ синтезированного низкочастотного ЦФ Баттерворта третьего порядка

6.4.3.Синтез высокочастотного, полосового пропускающего и заграждающего ЦФ Баттерворта

Высокочастотный ЦФБ может быть синтезирован на основе ПФ низкочастотного ЦФБ. Пусть ПФ низкочастотного ЦФ, записанная

Сделаем переобозначение w2 w в (6.4.12) и получим окончательно ПФ H 2 (w, wc2 ) для высокочастотного ЦФБ.

209

Последовательное соединение низко- и высокочастотного ЦФ с ПФ H1(w, wc1 ), H2 (w, wc2 ) и частотами среза wc1 , wc2 , удовлетворяющих условию wс1 wс2 , очевидно позволяет сформировать

полосовой пропускающий ЦФ. Его ПФ будет представлять собой произведение ПФ составляющих

На основе (6.4.13) записывается АЧХ полосового пропускающего ЦФ:

Аналогичным образом последовательное соединение низко- и высокочастотного ЦФ с ПФ H1(w, wc1 ), H2 (w, wc2 ) и частотами

среза, которые удовлетворяют условию wс1 wс2 , даёт возмож-

ность сформировать полосовой заграждающий ЦФ. Его ПФ будет представлять собой произведение ПФ составляющих

На основе (6.4.14) записывается АЧХ полосового заграждающего ЦФ

H4 (w, wc1 , wc1 ) H1(w, wc1 ) H2 (w, wc2 ) .

6.5. Cинтез КИХ-фильтров

КИХ-фильтры были определены в разд. 6.1. Эти фильтры задаются набором коэффициентов a0 , a1,..., ak и реализуют скользящее взвешенное суммирование последовательности входного сигнала

s 0

вычисления начинаются с i 0. Передаточная функция для разностного уравнения КИХ-фильтра (6.5.1) записывается в виде

s 0

210

Импульсно-переходная функция для (6.5.1) определена в (k 1) точках, h(s) as , s 0, 1,..., k. ПФ для КИХ-фильтра (6.5.2) линейно зависит от коэффициентов a0 , a1,..., ak . Указанное обстоя-

тельство приводит к квадратичным функционалам при решении аппроксимационных задач, что позволяет в ряде случаев эффективно реализовывать синтез КИХ-фильтров на основе соответствующих систем линейных уравнений.

6.5.1.Синтез КИХ-фильтров на основе метода аппроксимации в частотной области

Рассмотрим достаточно общую постановку задачи синтеза КИХфильтров на основе метода аппроксимации в частотной области. Пусть на фиксированном частотном диапазоне ( 0 , f ) заданы

частотные точки i , i 0, 1,..., N 1, 0 1 ... N 1, f N 1, не обязательно расположенные равномерно. В этих точках определены комплексные значения эталонной ПФ H0 ( j i ), которые необходимо аппроксимировать в точках i с помощью комплексной

Представим выражение для ПФ H (a, j T ) КИХ-фильтра в форме скалярного произведения, введя векторы a и Hd ( j T ) :

aT (a0 , a1,..., ak ), HdT ( j T ) (1,e j T , e j T 2,..., e j Tk ),

H (a, j T ) aT Hd ( j T ).

Сформируем квадратичный по вектору коэффициентов a функционал S(a, H0 ), определяющий близость эталонной ПФ и передаточ-

ной функции КИХ-фильтра, которая образуется в результате синте-

за

N 1

S(a, H0 ) (H0 ( j i ) H (a, j iT ))* (H0 ( j i ) H (a, j iT ))

i 0

N 1

(H0 ( j i ) aT Hd ( j iT ))* (H0 ( j i ) aT Hd ( j iT )). (6.5.3)

i 0

211

s 0, 1,..., k /2 1, обеспечивающие антисимметрию относительно

ak /2 0 :

Вариант КИХ-фильтра 4. Порядок фильтра k – нечётное число и для коэффициентов фильтра выполняются равенства as ak s , s 0, 1,..., (k 1)/2, обеспечивающие антисиметрию:

6.5.3. Синтез КИХ-фильтров методом оконных функций

Комплексная ПФ любого ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации 2 / T. Представим эталонную ПФ H0 ( j T ) синтезируемого ЦФ её в виде комплексного ряда Фурье с использованием (2.5.2):

s

где параметры h(s) с номерами s определяются в соответствии с

известной формулой для коэффициентов комплексного ряда Фурье

(2.5.4):

214

Нетрудно убедиться из (6.5.9), что коэффициенты разложения ПФ ЦФ в ряд Фурье могут интерпретироваться как отсчёты импульсно-

s

Определённая подобным образом ПФ (6.5.10) описывает физически нереализуемый ЦФ бесконечного порядка.

для упрощения выкладок, что порядок k является чётным числом. Случай нечётного порядка k производится почти аналогично. Про-

изведём усечение в (6.5.10), получим H0 (z) :

s 1

Физическая реализуемость ЦФ с передаточной функцией типа (6.5.11) может быть достигнута путём умножения H0 (z из (6.5.11) на z k /2:

Подобная модификация ПФ допустима, поскольку АЧХ при этом остаётся неизменной, а фазовое запаздывание уменьшается на ве-

личину Tk/2. Подстановкой z e j T в выражение (6.5.12) можно получить комплексную ПФ физически реализуемого ЦФ

Рассмотрим случаи, когда импульсно-переходная характеристика КИХ-фильтра симметрична h(s) h( s) и антисиметрична

h(s) h( s), k – чётное число. В первом случае имеем следующее выражение для ПФ КИХ-фильтра:

215