4.3. Функция спектральной плотности мощности сигналов

4.3.1. Теорема Парсеваля

Существуют два подхода, которые обычно применяются при исследовании свойств и характеристик сигналов. Первый подход базируется на обычных представлених во временной области, при которых сигналы рассматриваются как функции времени для Второй подход связан с представлениями в частот­ной области, при которых сигналы или образы сигналов в виде преобразований Фурье рассматриваются как функции частоты для Указанные подходы, являющиеся равноправными и двойственными, базируются на возмож­нос­ти реализа­ции прямого и обратного преобра­зований Фурье, взаимнооднозначно связывающих времен­ные и частот­ные представ­ления сигналов. Теорема Парсеваля позволяет устанавливать величину полной энергии комплексных сигналов с помощью интегрирования либо во временной, либо в частотной областях.

Основываясь на разд. 2.2, обратимся к выражению для вычисления энергии E комплексного сигнала во временной области в виде интеграла

(4.3.1)

Используем обратное и комплексно-сопряжённое обратное преобразования Фурье, сформируем выражения для сигналов и :

(4.3.2)

Подставим выражения (4.3.2) в интеграл (4.3.1) и переставим порядки интегрирования

(4.3.3)

Последний интеграл будет представлять собой -функцию из разд. 2.5.3

Нетрудно видеть, что справедливо равенство, из которого величина полной энергии сигнала может быть вычислена на основе интегрирования в частотной области:

, (4.3.4)

(4.3.5)

Равенство (4.3.5) представляет собой формулировку теоремы Парсеваля и позволяет вычислять полную энергию сигнала как во времен­ной, так и в частотной областях.

Прямое и обратное ДПФ может служить дискретным аналогом прямого и обратного непрерывного преобразования Фурье. Разберём вывод дискретного аналога теоремы Парсева­ля.

Запишем обратное и сопряжённое обратное ДПФ для дискретных значений сигнала :

Образуем произведения просуммируем их по i, изменим порядок суммирова­ния и получим

(4.3.6)

На основе (4.3.6) сформируем выражение, которое является дискретным аналогом теоремы Парсеваля:

(4.3.7)

4.3.2. Определение функции спектральной плотности мощности сигналов

Определение функции спектральной плотности мощности (СПМ) сигналов связано с аналогией из электротехники – вычислении мощности, выделяемой на активном сопротивлении (см. разд. 2.2).

Применим теорему Парсеваля (4.3.5) для нахождения величины энергии сигнала приходящейся на узкий интервал частот :

Для функции спектральной плотности мощности для стационарного эргодического сигнала в непрерывном случае сформируем отношение части мощности сигнала в частотном диапазоне к величине Для этого рассмотрим прямое и комплексно-сопряжённое прямое преобразование Фурье для сигнала на интервале времени которые представляются интегралами

(4.3.8)

Энергия сигнала длительностью в частотном диапазоне может быть найдена на основе интегралов (4.3.8)

Функция СПМ для рассматриваемого стационарного эргодического сигнала запишется в виде предела, в предположении, что этот предел существует:

,

(4.3.9)

Функция в общем случае определена во всём частотном диапазоне и является положительной 0.

Рассмотрим обобщение определения функции СПМ сигналов (4.3.9) для дискретного случая. Пусть задаётся набор дискретных значений сигнала T – интервал дискретизации. Интегралы Фурье из (4.3.8) могут быть заменены дискретными суммами, которые являются фактически оценками указанных интегралов для заданной частоты и и с учётом :

.

Нетрудно видеть, что оценки интегралов Фурье сформированы в виде ДПФ. Поэтому – оценка функции СПМ дискретизованного сигнала для фиксированных частот – может быть вычислена через коэффициенты ДПФ:

(4.3.10)

4.3.3. Функции временных окон

Погрешности предложенной оценки (4.3.10) функции СПМ стационарного эргодического сигнала обусловливаются, в основном, двумя факторами: заменой непрерывного сигнала на дискретный и конечностью интервала наблюдения. Точность оценивания функции СПМ будет повышаться при уменьшении интервала дискретизации и увеличении длительности времени наблюдения.

Проанализируем возможность повышения точности оценивания функции СПМ для фрагмента сигнала, определённого на некотором конечном интервале времени. Рассмотрим погрешность, которая вносится конечностью интервала интегрирования при вычислении преобразований Фурье. Для сигнала запишем преобразование Фурье на бесконечном и конечном симметричном временном интервале

Очевидно, что и – погрешность преобразования Фурье сигнала вызванная конечным интервалом интегрирования; – мера погрешности. Преобразование Фурье на конечном интервале может замениться вычислением интеграла на бесконечном интервале, если ввести функцию прямоугольного временного окна для и для

При стремлении величины временного интервала интегрирования к бесконечности имеет место очевидный предел

Согласно сделанным ранее рассмотрениям в разд. 2.5.3, преобразование Фурье от произведений функций вычисляется как интегральная свёртка преобразований Фурье сомножителей:

(4.3.11)

где – преобразование Фурье функции прямоугольного временного окна Приведём выражение преобразования Фурье, которое в силу чётности является действительной функцией

(4.3.12)

График модуля для частного значения изображён на рис. 4.3.1. Функция состоит из главного лепестка, ширина которого определяется из соотношения и системы медленно спадающих по амплитуде боковых лепестков.

Рис. 4.3.1. Модуль преобразования Фурье функции прямоугольного окна

При увеличении для прямоугольного окна его преобразование Фурье вида (4.3.12) стремится к -функции; преобразование Фурье в соответствии с формулой интегральной свёртки (4.3.11), стремится к

Возможность снижения погрешности оценивания функции СПМ, возникающей из-за конечности временного интервала, может реализовываться на основе выбора подходящей функции временного окна вне интервала Умножение сигнала на функцию временного окна на интервале описывается свёрткой в частотной области

(4.3.13)

Пусть функция временного окна будет устроена таким образом, что её преобразование Фурье оказывается близким к -функции; должна будет иметь высокий и узкий главный лепесток и систему малых боковых лепестков. Тогда имеются основания полагать, что в результате интегрирования свёртки (4.3.13) преобразование Фурье будет близко к Последнее соответствует реализации приближённого равенства что эквивалентно снижению погрешности при оценивании функции СПМ.

Перейдём к дискретным значениям сигнала и функции временного окна определённой на конечном интервале наблюдения После умножения наблюдений на функцию временного окна получим последовательность .

Вычислим z-преобразование для последовательности которое может быть найдено на основе z-преобразований последовательностей и :

Воспользуемся материалами разд. 2.6 и формулой (2.6.3), сделаем подстановку и запишем выражение для частотной функции на основе свёртки частотных функций окна и сигнала :

Очевидно, для того, чтобы частотная функция была близка к частотной функции необходимо, чтобы частотная функция окна была близка к -функции – имела бы высокий главный лепесток в узком частотном диапазоне и незначительные боковые лепестки.

Рассмотрим некоторые варианты оконных функций. Примем для удобств выкладок временной интервал симметричным, положим N чётным и определим окно в точках (в N + 1 точках).

Функция прямоугольного временного окна является базисной для настоящего рассмотрения и представляется соотношениями

для , для .

Вычислим в соответствии с (2.6.3) частотную функцию для прямоугольного окна

(4.3.14)

В силу чётности функция является действительной.

Рис. 4.3.2. Модуль частотной функции прямоугольного окна

На рис. 4.3.2 изображён график модуля частотной функции в зависимости от переменой для примера взято значение Частотная функция является аналогом преобразования Фурье

Функции временных окон Хэннинга и Хэмминга отличаются параметрами и описываются формулой

для

для (4.3.15)

для окна Хэннинга выбирается значение , для окна Хэмминга – .

Вычисления частотных функций окон Хэннинга и Хэмминга производятся на основе частотных функций прямоугольного окна, сдвинутых вправо и влево на :

(4.3.16)

.

На рис. 4.3.3а, 4.3.3б изображены функция временного окна Хэннинга для и модуль её частотной функции в зависимости от переменой

Рис. 4.3.3а. Функция временного окна Хэннинга

Рис. 4.3.3б. Модуль частотной функции окна Хэннинга

Рис. 4.3.4а, 4.3.4б содержат изображения функции временного окна Хэмминга для и модуля её частотной функции.

Рис. 4.3.4а. Функция временного окна Хэмминга

Рис. 4.3.4б. Модуль частотной функции окна Хэмминга

Функция временного окна Блэкмана описывается весовой функцией

для , (4.3.17)

для .

На рис. 4.3.5а, 4.3.5б изображены функция временного окна Блэкмана для и модуль частотной функции окна Блэкмана.

Рис. 4.3.5а. Функция временного окна Блэкмана

Рис. 4.3.5б. Модуль частотной функции окна Блэкмана

Функции временных окон и при визуальном анализе не очень сильно отличаются друг от друга. Однако различия в кривизне окон во временной области приводят к их существенным отличиям в частотной области – в размерах главного и боковых лепестков модулей частотных функций. Очевидно, что требования снижения ширины главного лепестка и амплитуд боковых лепестков являются противоречивыми.

Наглядное представление о частотных характеристиках функций временных окон могут дать графики модулей частотных функций в логарифмическом масштабе. С их помощью можно оценить ширину главных лепестков и соотношение амплитуд главных и первого бокового лепестков – коэффициент пульсации На рис. 4.3.6а для прямоугольного окна изображён график на рис. 4.3.6б–4.3.6г, соответственно, – графики и

Сравнительные характеристики функций временных окон для позволяющие судить об их эффективности при решении задачи повышения точности оценивания функций СПМ, помещены в табл. 4.3.1.

Рис. 4.3.6а. Модуль частотной функции прямоугольного окна

в логарифмическом масштабе

Рис. 4.3.6б. Модуль частотной функции окна Хэннинга

в логарифмическом масштабе

Рис. 4.3.6в. Модуль частотной функции окна Хэмминга

в логарифмическом масштабе

Рис. 4.3.6г. Модуль частотной функции окна Блэкмана

в логарифмическом масштабе

Таблица 4.3.1

Тип окна	Ширина главного лепестка	Коэффициент пульсаций , %
Прямоугольное окно		21,7
Окно Хэннинга		2,64
Окно Хэмминга		1,23
Окно Блэкмана		0,112

4.3.4. Технологические этапы оценивания функции СПМ сигналов

Теперь опишем последовательность технологических этапов получения оценок функции СПМ для стационарных эргодических сигналов, наблюдаемых на большом интервале времени Будем полагать, что обрабатываемые сигналы задаются в непрерывной форме, например в виде записей на аналоговом магнитофоне.

Этап 1. Выбор частоты дискретизации. Пусть  – верхнее значение частоты полосы сигнала. Чаще всего величина  должна быть известной из априорных сведений о сигнале; полоса  может регулироваться с помощью противомаскировочного фильтра. Согласно теореме Котельникова, частоту дискретизации следует выбирать, исходя из неравенства Гц; На практике обычно принимают частоту дискретизации равной Если в обрабатываемом сигнале доминирует синусоидальная составляющая с частотой , то на период синусоиды должно приходиться точек дискретизации. Общее число дискретизванных значений сигнала равняется величине Объём памяти ЭВМ (ДЗУ), который займут введённые дискретизованные сигналы, в случае, если на одно дискретное значение сигнала отводится 4 байта, составит Кбайт. При вводе дискретных данных в ЭВМ следует учитывать ограничение памяти ДЗУ ЭВМ – должно выполняться неравенство .

Этап 2. Выбор параметров локальных интервалов. Если N – выбранное число точек на локальном интервале, m – число локальных интервалов, то должно выполняться условие Необходимо выбор параметров локальных интервалов осуществлять таким образом, чтобы числа N, m были целыми. Длина локального временного интервала NT подбирается, исходя из обеспечения требуемой разрешающей способности ДПФ f (см. разд. 4.2.3). Для этой цели должна быть определена минимальная разность частот двух соседних частотных составляющих в обрабатываемом многочастотном сигнале. Величины f и для обеспечения разрешения должны быть связаны неравенством, предложенным в разд. 4.2.3:

Для улучшения разрешения, естественно, следует назначать длинные локальные интервалы. Однако при обеспечении хорошего усреднения результатов цифровой обработки требуется увеличивать – реализовывать большое количество локальных интервалов и тем самым уменьшать длины локальных интервалов. Требования удовлетворительного усреднения и хорошей разрешающей способности являются противоречивыми. Выбор параметров связан с принятием компромисса.

Этап 3. Умножение сигналов на локальных интервалах на функцию временного окна. Пусть для дискретизованного сигнала исходный большой интервал времени разбивается на m локальных интервалов по N точек. Дискретизованный сигнал на j-м локальном интервале имеет вид Для каждого локального интервала осуществляется умножение части дискретизованного сигнала на N‑ точечное временное окно

Этап 4. Вычисление локальных ДПФ и локальных оценок функции СПМ. Нахождение локальных коэффициентов ДПФ производится в соответствии с формулой ДПФ

Локальные оценки функции СПМ находятся с использованием локальных коэффициентов ДПФ

Этап 5. Вычисление оценок функции СПМ. Оценка функции СПМ для стационарного эргодического сигнала вычисляется на основе усреднения оценок по множеству локальных интервалов

.

Усреднение обеспечивает снижение шумовых порешностей в оценке функций СПМ сигналов.

На основе предложенной последовательности технологических этапов оценивания функций СПМ достаточно эффективно решаются многие задачи оценивания параметров сигналов, которые иногда не могут быть успешно решены другими методами. Возникающие при этом погрешности в оценках в ряде случаев могут компенсироваться достигаемым большим быстродействием и простотой вычислительных процедур.