Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

Общее решение имеет вид

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

удовлетворим краевым условиям

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

удовлетворим краевым условиям

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

итак, получили

- решение задачи

Уравнение Лапласа в прямоугольнике

для решения уравнения Лапласа в прямоугольнике необходимо рассмотреть вспомогательную задачу

решим уравнение методом разделения переменных

Уравнение Лапласа в прямоугольнике

уравнение примет вид

отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения

Уравнение Лапласа в прямоугольнике

определим знак λ 1 случай рассмотрим уравнение

характеристическое уравнение:

- решение уравнения

Уравнение Лапласа в прямоугольнике

рассмотрим уравнение

характеристическое уравнение:

- решение уравнения

Уравнение Лапласа в прямоугольнике

таким образом

Удовлетворим краевым условиям

1)

тогда, отсюда

Уравнение Лапласа

впрямоугольнике

2)

Учитывая, что, имеем:

, следовательно,

но тогда мы получим решение уравнения равное постоянной, а это не удовлетворяет граничным условиям