Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Удовлетворим краевому условию:

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Возьмем разложение в ряд Фурье

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Формулы Эйлера:

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в формулу и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим:

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Произведем следующие тождественные преобразования:

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

-интегральная формула, дающая решение задачи

-ядро Дирихле

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению внутри кольца

Необходимо поставить краевые условия на каждой из границ:

– заданные функции

– полярный угол пусть

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

уравнение примет вид

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

при решения уравнений имеет вид

при получили