Метод разделения переменных для конечного стержня
Рассмотрим уравнение
Характеристическое уравнение имеет вид:
Это решение не подходит, так как если |
,то |
поэтому нарушается второй закон термодинамики, то есть происходит передача энергии от холодного к горячему
Метод разделения переменных для конечного стержня
2 случай
тогда
Подставим краевые условия
В итоге получим нулевое решение A=0, а значит λ =0 не подходит
Метод разделения переменных для конечного стержня
3 случай
Запишем характеристическое уравнение
Общее решение может быть записано в виде:
Метод разделения переменных для конечного стержня
Подставим краевые условия
Получаем Существуют нетривиальные решения уравнения, равные
Этим значениям pn соответствуют решения уравнения
- неопределенный пока коэффициент
Метод разделения переменных для конечного стержня
Общее решение
Удовлетворим начальным условиям
Для вычисления этого начального решения необходимо взять в качестве An коэффициент Фурье:
Неоднородное уравнение теплопроводности
Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности
сначальным условием
играничным условием
Неоднородное уравнение теплопроводности
Будем искать решение этой задачи U(x,t) в виде ряда Фурье по собственным функциям, соответствующим однородной краевой задаче:
Представим функцию f(x,t) в виде ряда
где
Неоднородное уравнение теплопроводности
Подставляя в исходное уравнение имеем:
Если ряд Фурье равен нулю, то все коэффициенты разложения равны нулю, то есть
Пользуясь начальным условием
Неоднородное уравнение теплопроводности
получаем начальное условие для Un(x,t):
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение с нулевым начальным условием, находим:
получим решение исходной задачи в виде
Неоднородное уравнение теплопроводности
преобразуем найденное решение
функция точечного источника (функция Грина)