Неоднородное уравнение струны (вынужденные колебания струны)

Ищем решение W в виде ряда:

Рассмотрим f как функцию от переменного x в ряде Фурье по синусам на отрезке [0,l] :

Неоднородное уравнение струны (вынужденные колебания струны)

Неоднородное уравнение струны (вынужденные колебания струны)

Подставим в уравнение

Неоднородное уравнение струны (вынужденные колебания струны)

Начальные условия дают:

Неоднородное уравнение струны (вынужденные колебания струны)

Метод разделения переменных для конечного стержня

Будем искать решение в виде произведения двух функций

где X(x) - функция только переменного x, а T(t) - функция только переменного t.

Метод разделения переменных для конечного стержня

λ=const , так как левая часть равенства зависит

только от t, а правая – только от x. Отсюда следует, что

Граничные условия дают:

Метод разделения переменных для конечного стержня

Граничные условия дают:

Тогда

Необходимо определить знак λ

Метод разделения переменных для конечного стержня

1 случай

Рассмотрим уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: