Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

2 случай В этом случае общее решение уравнения имеет вид

Граничные условия дают:

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

3 случай

Запишем характеристическое уравнение

Общее решение уравнения:

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Этим же значениям pn соответствуют решения уравнения

функции являются частными решениями уравнения, удовлетворяющими граничным условиям и представимыми в виде произведения двух функций.

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

В силу линейности и однородности уравнения сумма частных решений

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Начальные условия позволяют определить An и Bn

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Если функции

удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

Неоднородное уравнение струны (вынужденные колебания струны)

Найти решение неоднородного уравнения

- заданная функция

Неоднородное уравнение струны (вынужденные колебания струны)

Ищем решение в виде суммы двух функций

Неоднородное уравнение струны (вынужденные колебания струны)

Рассмотрим систему

W(x,t) и f(x,t) разложим в ряд по синусам