Принцип максимума (минимума)
Надо доказать, что однородное уравнение с однородными условиями имеет только тривиальное решение.
Для доказательства будем использовать принцип максимума (минимума)
Если функция |
, определенная и непрерывная |
в замкнутой области |
, |
удовлетворяет уравнению теплопроводности
то максимальное и минимальное значения функции достигаются или в начальный момент, или в точках
границы x=0 или x=l.
Принцип максимума (минимума)
Принцип максимума (минимума)
Доказательство (от противного)
Обозначим через M максимальное значение U(x,t)
при t = 0 (0 ≤ x ≤ l) или при x = l (0 ≤ t ≤ T) и
допустим, что в некоторой точке (x0 ,t0 ) (0 < x0 < l,
0 < t0 < T) функция U(x,t) достигает своего максимального значения, равного 
Так как в точке (x0 ,t0 ) функция достигает своего максимального значения
Принцип максимума (минимума)
Так как U(x,t0 ) достигает максимального значения при t0
Сравнивая знаки правой и левой части уравнения, видим, что они различны. Однако это рассуждение еще не доказывает теоремы, так как правая и левая части могут быть равны нулю, что не влечет за собой противоречия.
Принцип максимума (минимума)
Для полного доказательства найдем точку 
в которой
рассмотрим вспомогательную функцию
k- некоторое постоянное число
Принцип максимума (минимума)
Выберем k > 0 так, чтобы kT был меньше ε/2
т. е. k< ε /2T
тогда максимальное значение V(x,t) при t=0 или при x=0, x=l не будет превосходить M+ε/2 , т.е.
Очевидно, что
Принцип максимума (минимума)
Учитывая
находим:
Отсюда следует, что
Принцип максимума (минимума)
уравнение во внутренней точке 
не удовлетворяется
Тем самым доказано, что решение |
уравнения |
|
теплопроводности внутри области не может |
|
|
принимать значений, превосходящих наибольшее |
||
значение |
на границе |
|
Принцип максимума (минимума)
Докажем единственность
Максимум и минимум достигается на границе
Принцип максимума (минимума) следствия
1) Рассмотрим две задачи: