Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Будем искать решение уравнения

удовлетворяющее однородным граничным условиям

и начальным условиям

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Уравнение линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Будем искать решение уравнения в виде

, где

X(x)- функция только переменного x, T(t)- функция только переменного t.

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Подставим в уравнение получим:

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Правая часть равенства является функцией только переменного x, а левая - только t.

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Фиксируя, например, некоторое значение x и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Из соотношения получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения

функций X(x) и T(t).

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Граничные условия дают:

Отсюда следует, что функция X(x) должна удовлетворять дополнительным условиям

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Таким образом, в связи с нахождением функции

X(x) мы приходим к простейшей задаче о cсобственных значениях: найти такие значения

параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи

Такие значения параметра λ называются собственными значениями

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

1 случай

Запишем характеристическое уравнение

Общее решение уравнения может быть записано в виде

Метод разделения переменных для струны,

закрепленной на концах

Граничные условия дают:

ρl - действительно и положительно, так что