8.5. Погрешности регистрации событий, распределенных по закону Пуассона

Многие природные явления, события, физические процессы могут быть описаны с помощью дискретной функции распределения Пуассона. Вероятность появления N событий для таких стационарных процессов² описывается функцией [34, 77]

,

где а – математическое ожидание. Этой функцией, например, описывается количество частиц ионизирующего излучения, испускаемого радионуклидом в единицу времени, вероятность появления числа электронов с катода электронной лампы, число пассажиров в транспорте в единицу времени и т.д.

Характерной особенностью распределения Пуассона является то, что дисперсия этого распределения также равна . Приа > 10, дисперсия а является с хорошей точностью дисперсией нормального распределения, предельного по отношению к данному пуассоновскому при Однако уже приа > 10 можно с вероятностью Р = 0,68 утверждать, что математическое ожидание а лежит в пределах Фактически, по одному измерению (которое является сверткойN измерений) определяется среднее и дисперсия.

При многократном (n раз) измерении стабильного во времени числа событий оценкой результата является среднее арифметическое

где n — число измерений, N_i — число событий, зарегистрированных в каждом i измерении за один и тот же промежуток времени. Среднеквадратическое отклонение суммы n измерений равно:

,

где — дисперсияi-го измерения и .

Следовательно, оценка среднего с увеличением числа измерений будет приближаться к математическому ожиданию а, и результат измерения можно записать в виде при доверительной вероятностиР = 0,68.

Для суммы результатов измерений , математическое ожидание суммы можно оценить по формулеприР = 0,68.

Относительная же погрешность будет уменьшаться при наборе числа событий, действительно

Регистрацию пуассоновского числа событий часто характеризуют такими понятиями, как скорость счета и средняя скорость счета. Если проведено n измерений за произвольные промежутки времени, то результат измерения, приведенный к единице времени (секунде или минуте) в каждом i измерении называется скоростью счета , гдеN_i – число событий за время t_i. Средняя скорость счета определяется как средневзвешенное результатов n измерений за общее время измерения :

.

Как правило, по средним скоростям счета сравнивают различные потоки Пуассона. СКО суммарного потока событий и средней скорости счета будут равны:

;

Относительная погрешность средней скорости счета равна: .

Пример 8-5. При измерении активности источника ионизирующего излучения в течение времени с зарегистрированоимпульсов. Записать результат измерения.

Поскольку N велико для интервальной оценки воспользуемся данными нормального распределения Гаусса: при. Относительная погрешность равна2 %. Средняя скорость счета . Активность источника(1000  20) Бк при P = 0,95.

Вопросы и задания для самоконтроля

1) Какими функциями распределения вероятности описываются результаты измерений и погрешности измерений?

2) Как можно трактовать систематическую и случайную погрешности с позиций статистики?

3) Напишите соотношения для вероятности попадания результатов измерения и их погрешностей в заданные интервалы.

4) Напишите выражения для интегральной и дифференциальной равномерной функции распределения вероятности погрешности измерения.

5) Напишите выражения для интегральной и дифференциальной функции распределения вероятности погрешности измерения.

6) Покажите, как определяется вероятность попадания результатов измерения от х₁ до х₂ для равномерной функции распределения результатов измерения.

7) Покажите, каким образом вычисляется вероятность попадания погрешности измерения в область от d₁ до d₂ при нормальном распределении погрешности измерения?

8) Как определяются начальные и центральные моменты r-го порядка? Напишите выражение для первого начального и второго центрального моментов. Какое специальное наименование они имеют?

9) Вычислите математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение погрешности при ее равномерном распределении вероятности.

10) Какие статистические критерии используются для оценки пригодности точечных оценок при ограниченном числе измерений? В чем существо этих оценок?

11) Напишите точечные оценки для оценки математического ожидания и дисперсии результата измерения при числе измерений n=10.

12) Что такое интервальные оценки, и как записывается результат единичного измерения, используя доверительные интервалы результатов измерения?

13) Что такое распределение Стьюдента, и когда оно используется?

14) Каким образом определяется вероятность попадания результата измерения в заданный доверительный интервал, используя распределение Стьюдента? Как при этом записывается результат измерения?

15) Что такое исправленный и неисправленный результат измерения?

16) Напишите формулы для определения суммарной систематической погрешности измерения при их числе меньше и больше трех.

17) Как производится «исправление» результатов измерений и почему необходимо осторожно подходить к процедуре компенсации систематических погрешностей в результатах измерения?

18) Как обнаружить постоянную систематическую погрешность?

19) Перечислите группу методов, связанных с рекомендациями по схемно-конструктивным решениям СИ, уменьшающих систематические погрешности измерения.

20) Перечислите группу методов, связанных с рекомендациями по введению в устройство СИ некоторых функциональных элементов с целью снижения систематических погрешностей.

21) Назовите особенности распределения плотности вероятности появления дискретных событий, описываемых законом Пуассона?

22) Запишите результат измерения N событий, имеющих распределение Пуассона при доверительной вероятности Р= 0,68; 0,95; 0,997 и числе регистрации событий N>>10.

23) Что такое скорость счета и средняя скорость счета?

24) Как изменяется относительная погрешность регистрации средней скорости счета при увеличении числа регистрируемых событий, распределенных по закону Пуассона?

1 Генеральная совокупность данных – теоретически бесконечная совокупность данных, в которой распределение признака совпадает с с теоретическим распределением вероятности величины х.

2 Стационарный процесс – случайный процесс, характеристики которого не зависят от начала отсчета во времени.

22