8.1.2. Моменты случайных величин.

Описание результатов измерений с помощью функций распределения является достаточно универсальным средством получения полных сведений о погрешностях измерения. Этот способ обработки измерений используют при научно-исследовательских работах, а также при создании новых мер и измерительных приборов. Обычно результаты измерений характеризуют функционалами от функций распределения и значениями погрешности в некотором доверительном интервале. Наиболее широко для оценки результатов измерения используют первые и вторые начальные и центральные моменты.

Начальным моментом r-го порядка функции распределения называется интеграл вида

,

представляющий собой математическое ожидание x^r.

Первый начальный момент определяет центр тяжести под кривой p(x):

и называется математическим ожиданием.

Второй начальный момент

характеризует рассеяние результатов измерения и называется дисперсией результатов измерений при m_x = 0, например, для погрешности измерения, где m_=0.

Центральным моментом r-го порядка функции распределения называется интеграл вида

представляющий собой математическое ожидание величины .

Второй центральный момент играет большую роль в теории погрешностей

=

и имеет специальное название — дисперсия и совпадает cо вторым начальным моментом при

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, что не всегда удобно на практике. Чаще используют среднеквадратическое отклонение (СКО) результатов измерения

.

8.2. Распределения случайных погрешностей.

Случайная погрешность образуется в результате случайного воздействия различных факторов, которые приводят к появлению составляющих погрешностей, имеющих свое распределение вероятности. Многие факторы в настоящее время хорошо изучены и известны создаваемые ими функции распределения случайных погрешностей. Наиболее распространенными функциями распределения случайных погрешностей являются нормальное и равномерное (симметричное) распределения.

Симметричное равномерное распределение постоянно в диапазоне от минус  до  и равно нулю при всех других изменениях аргумента (рис.8-3):

;

Это распределение погрешности имеет место из-за зазоров в механизмах, обусловленных допусками; дискретности уровней квантования в аналого-цифровых преобразователях, дискретности шкал при снятии показаний со стрелочного прибора и т.д.

Основные моменты равномерного распределения — математическое ожидание и дисперсию равны:

;.

Рис.8-3. Функции равномерного распределение погрешности измерения:

а — дифференциальная; б — интегральная

Основные моменты равномерного распределения — математическое ожидание и дисперсию равны:

; .

Нормальное распределение встречается довольно часто, поскольку к нему, согласно центральной предельной теореме теории вероятности, приводит большое количество одновременно малых воздействий, пусть даже имеющих произвольные распределения погрешности. Дифференциальная функция распределения результатов измерений и случайной погрешности имеют вид (рис.8-4):

;

.

Если переместить начало координат p(x) в точку х = m_х, то получим функцию распределения погрешности p() и . Нормальная функция распределения полностью характеризуется дисперсией, которая показывает рассеиваемость результатов измерений, обусловленных случайной погрешностью.

Вычислим вероятность попадания результатов измерения в некоторый заданный интервал (x₁, x₂]:

.

Рис.8-4. Дифференциальные функции нормального распределения

погрешности измерения при различных среднеквадратических

отклонениях результатов измерения

Этот интеграл не выражается в элементарных функциях и его вычисляют с помощью таблиц. Для упрощения формы записи и приведения ее к виду, удобному для пользования таблицами, произведем замену переменных:

,

после чего получим следующие выражение для вероятности:

.

Дифференциальная функция распределения является нормированной функцией распределения погрешности. Для вычисления вероятности используют табулированные значения интеграла вероятности – функции нормального распределения Гаусса (прил.10):

Ф.

В силу симметрии и учитывая, что площадь под кривой распределения равна единице,

Ф(z) = 1 – Ф(–z) и Ф(–z) = 1 – Ф(z).

Используя эти соотношения, получим выражение для определения вероятности попадания результатов измерения (или погрешностей) в симметричный интервал :

P(–z <   z) = Ф(z) – Ф(–z) = Ф(z) – 1 + Ф(z) =2Ф(z) – 1 = 2[Ф(z) – 1/2] = Ф(х).

Интеграл вероятности вида Ф(х) приведен в таблицах многих математических справочников и представляет собой, как видно, площадь, заключенную в симметричном интервале z.

Пример 8.1. Случайная погрешность измерения дальности до неподвижного объекта подчинена нормальному закону с математическим ожиданием m_=5м и СКО =10м. Определить вероятность того, что отклонения от истинного значения дальности не превышает |15м|.

Видно, что измерения содержат систематическую погрешность измерения равную 5м. Таким образом, распределение погрешности измерения оказывается сдвинуто по оси  на 5 м вправо.

Определение вероятности того, что измеренное значение дальности отклонится от истинного значения не более чем на 15 м сводится к вычислению вероятности попадания случайной величины (погрешности измерения) на интервал от -15 м до 15 м.

Используя формулы, приведенные выше, и значения Ф(z) из таблицы нормального распределения Гаусса, получаем: