8.3. Точечные и интервальные оценки ограниченного числа измерений

8.3.1.Точечные оценки

Определение точного значения математического ожидания и дисперсии (и соответственно СКО) возможно только при бесконечном числе измерений или при наличии генеральной совокупности данных¹

или ;

или ,

где – вероятность появления результата измеренияв интервале значений отдопри дискретном распределении результатов измерения,

При отсутствии систематической погрешности принимается, что математическое ожидание m_x = Q, где Q – истинное (действительное) значение измеряемой ФВ.

В результате измерительного эксперимента получают некоторую выборку из генеральной совокупности данных - ограниченное число значений х_i, и по этой выборке оценивают значения математического ожидания и дисперсии.

Пригодность оценок, полученных с помощью ограниченного числа измерений, проверяют с помощью ряда статистических критериев, таких как состоятельность, несмещенность и эффективность.

Таблица 8-1

Формулы для вычисления точечных оценок результатов измерений

Точечная оценка	Формулы для вычисления оценок
Оценка истинного значения – среднее арифметическое значение измеряемой величины из n единичных результатов	(8-1)
Оценка СКО – средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду n единичных измерений	(8-2)
Оценка средней квадратической погрешности результатов измерения среднего арифметического	(8-3)

Примечание. Среднеквадратическое отклонение (СКО) и среднеквадратическая погрешность (СКП) для измерений свободных от систематических погрешностей являются одинаковой оценкой результатов единичных измерений (в соответствии с РМГ 29-99). Волнистый знак обозначает оценку величины.

Состоятельная оценка — это оценка, которая сходится при увеличении числа измерений к своему пределу по вероятности.

Несмещенная оценка – это оценка, при которой ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

Эффективная оценка – это оценка, дисперсия которой меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

Установлено [34], что всем вышеуказанным критериям удовлетворяют оценки, приведенные в табл. 8-1. Оценки, выражаемые одним числом, называются точеными оценками, а поскольку они представлены ограниченным числом данных (результатов измерений), случайно выбранных (полученных) в результате измерительной процедуры, то эти оценки также называются выборочными.

8.3.2. Оценки с помощью доверительных интервалов

Более полный и надежный способ оценивания измеренной ФВ заключается в определении интервала (а не только точечного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Поскольку увеличение числа измерений увеличивает уверенность в получении правильного результата измерений, доверительные интервалы сужаются при увеличении числа измерений с сохранением вероятности нахождения истинного значения внутри него. Доверительные границы результатов измерений определяются как наибольшее и наименьшее значения результатов измерений ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение результата измерений.

 Полагая, что результаты измерения не содержат систематической погрешности, вероятность нахождения действительного значения измеряемой ФВ при получении единичного результата измерения х в интервале от x₁ =x-t_p до x₂ =x+t_p при заранее известном СКО  будет равна при |t₁|=|t₂|=t_P)

Для абсолютной погрешности , имеет место следующее выражение для вероятности попадания погрешности единичного измерения в интервалt_P

.

 При проведении n измерении и, заранее известном СКО, вероятность нахождения действительного значения измеряемой ФВ в доверительном интервале от х₁ до х₂ будет равна:

,

где . Видно, что доверительный интервал сузился враз (табл. 8-1) при той же вероятности, что и в предыдущем примере.

Вероятность Р нахождения погрешности измерения среднего в заданном интервале можно представить в виде:

Половина доверительного интервала называется доверительной границей, и итог измерения представляется в виде

при.

 При проведении небольшого (ограниченного) числа измерений, предположительно распределенных нормально, вероятность нахождения действительного значения измеряемой ФВ в доверительном интервале (при неизвестном СКО) будет определяться распределением Стьюдента (рис.8-5)

,

где определяется по формуле (8-3), – дифференциальная функция распределения Стьюдента, зависящая от параметраи числа степеней свободы. Для погрешности измерения, учитывая симметричность распределения Стьюдента, можно написать следующее соотношение:

.

Рис.8-5. Дифференциальные функции распределения Стьюдента и

нормального распределения

Для определения вероятности попадания действительного значения измеряемой величины, в доверительный интервал  t_P

при числе степеней свободы k – Стьюдентом были составлены специальные таблицы (таблицы Стьюдента (прил.11).

Результат измерения записывается в виде:

приР = … %.

Практически при числе измерений n>20 распределение Стьюдента переходит в нормальное и для оценки попадания результатов измерения можно использовать функции (8-8) и таблицы нормального распределения Гаусса.

Пример 8-2. Проведено n = 7 измерений постоянной физической величины, результаты которых представлены в первой строке таблицы 8-2.

Таблица 8-2

Измерение	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
Результат измерения	5,65	5,37	5,48	5,71	5,44	5,50	5,46
	0,134	-0,146	-0,036	0,194	-0,076	-0,016	-0,056

Определить: Оценку действительного значения ФВ, оценку СКО и записать результат измерения.

1) Оценку действительного значения ФВ определим по формуле (8-1):

.

2) Для определения оценки СКО результата измерений воспользуемся формулой (8-3):

=

3) Полагая, что результаты измерения подчиняются нормальному закону распределения, запишем вероятность того, что истинное значение лежит в интервале , т.е. приПо таблице Стьюдента при числе степеней свободыk=n-1=6 и , находим вероятность Р= 0,65. После округления результата измерения до 3-х значащих цифр, результат измерения запишется в виде: при Р=0,65.

Пример 8-3. Проведено 16 независимых измерений длины стержня. Получено мм,мм. Определить границы доверительного интервала при вероятностиР = 0,99.

Вычислим число степеней свободы k = 15 и СКО среднего мм. По табл.Стьюдента находим, что приk = 15 и Р = 0,99, Таким образом, можно записать: Q = (9,4 1,0) мм, при Р = 0,99.

• Зная дисперсию, можно с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность непревышения погрешности  заданного значения . При этом нет необходимости знать вид распределения погрешности.

P{},

где – погрешность однократного измерения.

Если  = 3_х и измерение однократно, то

P{  3_x}  1/9  11 %;

Неравенство Чебышева дает грубую оценку вероятности нахождения погрешности в заданных пределах. Более точная оценка возможна при знании функции распределения вероятности р(х). Например, для нормального закона распределения погрешности при однократном измерении.

Р{  3_x}  0,003  0,3 %

Пример 8-4. Оценить вероятность того, что измеренное значение сопротивления R превышает истинное значение более чем на 2 Ом, если СКО =0,4 Ом. Закон распределения неизвестен.

Для определения искомой вероятности воспользуемся неравенством Чебышева при отклонение истинного значения сопротивленияR_Q от измеренного значения R равное 2 Ом. Подставляя все величины в неравенство Чебышева, получим