Пронкин Н.С. Метрология, стандартизация и сертификация в атомной отрасли

Глава 8. Методы оценки погрешностей и результатов измерений (ред. №8)

Оценка погрешности по ограниченному числу измерений –

это математически обоснованное приближение

к значению измеряемой величины и погрешности,

которые можно было бы получить

при бесконечном числе измерений

Глава 8. Методы оценки погрешностей и результатов измерений

8.1. Случайные погрешности

8.1.1. Описание случайных погрешностей.

Рассмотрим результат многократных измерений постоянной ФВ Q. Поскольку измерения всегда сопровождаются случайной погрешностью, каждый результат измерения x_i можно рассматривать как независимую случайную величину. Наиболее универсальным способом описания случайных величин являются их интегральные и дифференциальные функции распределения. Интегральной функцией результатов измерения называется зависимость вероятности того, что результат измерения х_i в i-м опыте окажется меньше некоторого текущего значения x (рис.8-1.):

F(x) = Р{x_i  x} = P{–  x_i  x}.

Расширение вероятности Р в область отрицательных значений х_i (хотя реально Q  0) придает записи интегральной функции математичность и позволяет воспользоваться для целей исследования случайных погрешностей интегральными функциями, хорошо исследованными в теории вероятности.

Случайную погрешность  можно рассматривать как случайную величину и ее поведение также описывать интегральной функцией распределения.

Интегральной функцией распределения погрешности  называется зависимость вероятности того, что погрешность в i измерении (х_i – Q) будет меньше, чем погрешность (х – Q). Получается эта функция путем переноса начала координат в точку х = Q (рис.8-2):

F() = P{_i  } = P{х_i – Q  х – Q} = P{х_i  х}.

Наибольшее распространение получили, как более наглядные, дифференциальные функции распределения результатов измерений и погрешностей, являющиеся производными от интегральных функций:

, .

Рис.8-1. Функции распределе­ния результатов измерения:

а — интегральная; б — дифференциальная

Обычно максимум дифференциальной функции распределения (или плотности распределения) совпадает (при отсутствии систематической погрешности) с истинным значением ФВ, поэтому дифференциальная функция распределения является более наглядной. Поскольку функция Р() безразмерна, то размерность р() = [1/], где [] — размерность измеряемой величины. В дальнейшем изложении материала, в основном, будет использоваться дифференциальная функция распределения случайной погрешности измерения.

Дифференциальные функции позволяют определить вероятность попадания погрешности или результата измерения в заданный интервал:

Очевидны также следующие равенства:

Со статистических позиций истинным (действительным) значением измеряемой величины считают координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой дифференциального распределения. Эта координата называется математическим ожиданием случайной величины и определяется формулой

.

Если систематическая погрешность равна нулю, то полагают, что

m_x = Q

Со статистических позиций можно дать более строгое определение систематической и случайной погрешностей. Отклонение математического ожидания от истинного значения измеряемой величины есть систематическая погрешность

а отклонение единичного результата измерения от математического ожидания есть случайная погрешность

Рис.8-2. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции

распределения погрешности измерения