9.4. Обработка результатов совместных измерений

Совместные измерения – одновременные измерения нескольких разноименных величин для нахождения зависимости между ними. Эти измерения характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитывают с помощью системы уравнений, в которых эти величины связаны с другими величинами, определяемыми методами простых или косвенных измерений. Подобные измерения проводят для установления зависимостей между величинами и эти измерения часто используются при проведении работ по калибровке СИ.

Уравнение совместного измерения можно представить как

, (9-23)

где x,у,z,l – измеряемые ФВ, А, В, С – величины, которые необходимо определить.

Например, величина сопротивления эталонного проволочного резистора из манганина характеризуется следующей зависимостью от температуры:

Для определения коэффициентов  и , многократно измеряя R_t при известных начальных значениях R₀ и t₀, изучают зависимость R(t), получая при этом серию значений R и t. Затем по этим данным вычисляют коэффициенты  и  и оценивают погрешности этого измерения. В представленном уравнении два неизвестных, и казалось бы, что для получения искомых коэффициентов, достаточно сделать два измерения. Однако для увеличения точности полученных результатов проводят достаточно большое количество измерений. Как правило, число измерений n>>m, где m – число неизвестных величин.

Наибольшее распространение при обработке совместных и совокупных измерений нашел метод наименьших квадратов. Cущность его состоит в следующем.

При определении величин x, y, z,… и подстановке их в уравнение (9-23) получается система из n – уравнений,

, (9-24)

в которых точное равенство невозможно, из-за того, что измеряемые величины входят в каждое из уравнений (9-24) с своими погрешностями. В этом методе исходят из следующих положений: предполагается, что наилучшие приближения к истинным значениям неизвестных A, B, C,…. и что они уже определены. Поскольку эти оценки определены со своими погрешностями, то каждое из уравнений (9-24) не может быть точным и будет обращаться в тождество, если к правой части добавить некоторое слагаемое , называемоеостаточной погрешностью² условных уравнений:

, (9-25)

В системе n – условных уравнений (9-25) оценки величин A,B,C,…., – это те которые будут определены ниже в результате предложенного метода обработки результатов измерений. Особенность системы уравнений (9-25) состоит в том, что невозможно подобрать для всех уравнений значения v_i такие, чтобы выполнялись все уравнения одновременно. Поэтому рассматривают методы одновременной минимизации остаточных погрешностей

В соответствии с методом наименьших квадратов оценки выбираются таким образом, чтобы обеспечитьминимум суммы квадратов остаточных погрешностей условных уравнений, т.е. минимизировать величину

=min (9-26)

Очевидно, что минимум V будет иметь место при равенстве нулю всех частных производных искомых величин, одновременно, т.е. при

(9-27)

Полученная система из m нормальных уравнений позволяет определить наилучшие оценки искомых величин. Дисперсия условных уравнений будет равна

, (9-28)

а СКО результатов измерений искомых величин при этом могут быть вычислены с помощью формул [66, 76, 77]:

…… (9-29)

где D – определитель (детерминант) системы (9-27), - алгебраическое дополнение элементов детерминанта – минор определителя, полученный вычеркиванием i-й cтроки и k-го столбца.

При обосновании метода наименьших квадратов в математической статистике предполагается, что результаты измерений удовлетворяют следующим условиям:

- значения аргументов известны точно;

- результаты измерений содержат лишь случайные погрешности, которые независимы, имеют нулевые средние значения и одинаковые дисперсии;

- погрешности измеряемых величин имеют нормальное распределение.

При этих условиях метод наименьших квадратов дает несмещенные оценки искомых неизвестных в зависимости (9-23), имеющие минимальные дисперсии. Однако на практике перечисленные условия выполняются далеко не всегда. В частности, кроме случайных составляющих погрешностей имеют место также и систематические составляющие погрешности. Метод наименьших квадратов используется также и для обработки неравноточных измерений. Особенности применения формул при обработке результатов совместных измерений рассмотрены в работах [66, 76].

Доверительные интервалы для истинных значений измеряемых величин строят на основе распределения Стьюдента при числе степеней свободы равном (n-m) или на основе нормального распределения, если результаты измерений можно считать нормальными.

Пример 9.4. Рассмотрим случай равноточных измерений y и x, связанных линейным уравнением

y = a + b x. (9-30)

Искомыми величинами являются a и b. Равноточность предполагает, что для всех результатов измерений i значений y_i и x_i их дисперсии не зависят от величин y и x. Кроме того, предполагается, что значение х_i задается в серии измерений точно, а учитывается только погрешность определения y_i, в состав которой входит и погрешность, связанная с заданием величин х_i.

После подстановки в (9-30) измеренных значений можно получить систему уравнений:

Для получения условных уравнений в виде (9-25) к каждому из уравнений (9-24) добавляются (или вычитаются – это всё равно) остаточные погрешности v_i. После этого составляются соотношения (9-26):

Для отыскания минимума функции V определяются частные производные по неизвестным а и b:

После упрощения, получим систему нормальных уравнений:

Приведем эти уравнения к виду, удобному для вычисления неизвестных с помощью определителя:

(9-31)

Решая (9-31) относительно неизвестных ии, вводя обозначения:

получим .

Случайные погрешности оценок неизвестных a и b, будут равны:

где – детерминант системы (9-31).

СКО условных уравнений в данном случае является СКО распределения y(x) и для нормального закона распределения y(x), может быть представлена в виде (9-28):

.