9.3.2. Основные соотношения при нелинейной зависимости

Метод линеаризации. При нелинейной зависимости и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используют метод линеаризации, который предполагает разложение нелинейной функции в ряд Тейлора:

,

где x_j - отклонение результата измерения аргумента x_j от среднего арифметического; R - остаточный член.

СКО случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле (9-16), где вместо коэффициентов b_j используют коэффициенты влияния, т.е. первые производные по каждому из аргументов x_j:

. ,

Результат измерения, также как и для линейной зависимости, записывается в виде

при Р= %

Следует подчеркнуть, что метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R. Им пренебрегают, если .

В общем виде остаточный член можно представить в виде второго ближайшего в разложении Тейлора члена как:

,

где х_i,j - отклонения результатов измерения от среднего арифметического. В целях консервативного характера оценки при расчетах берутся максимальные величины отклонений.

Если известны оценки СКО среднего, полученные экспериментальным путем, то величину остаточного члена можно оценить, полагая, что нормально распределенные погрешности аргументов с вероятностью близкой к единице (Р=0,997) не превышают .(консервативная оценка «трех сигм»).

Усредненная величина систематической погрешности, обусловленной остаточным членом, может быть определена по формуле¹

,

где _R – поправка, обусловленная нелинейностью функции F.

Если функция F непрерывна вместе со своими производными первого и второго порядков в области результата измерения и результаты прямых измерений аргументов распределены нормально, то при числе измерений n>30 для определения доверительного интервала можно воспользоваться функцией нормального распределения. При малом числе измерений необходимо использовать распределение Стьюдента.

Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют, используя вместо коэффициентов b₁, b₂,…b_m первые производные соответственно.

Суммарную погрешность косвенного измерения оценивают в соответствии с формулами (9-18 – 9-22). При отсутствии данных о виде функции распределений составляющих погрешности результат измерения записывают в форме

Пример обработки результатов косвенных измерений приведен в гл.10 в разделе, посвященном сравнению этапов обработки результатов измерений, использующих концепции погрешности и неопределенности измерений.

Метод приведения – получение ряда значений измеряемой величины путем подстановки отдельных значений аргументов в формулу, выражающую зависимость косвенно измеренной величины от аргументов (приведение результатов косвенных измерений к ряду прямых измерений). Этот метод используется в первую очередь, когда существует статистическая связь между погрешностями измеряемых величин (аргументов). Результат косвенного измерения вычисляют по формуле

,

где L - число отдельных значений измеряемой величины; Y_j -j-е отдельное значение измеряемой величины, полученное в результате подстановки j-го сочетания согласованных результатов аргументов в формулу (9-12).

СКО случайных погрешностей результатов косвенных измерений определяют по формуле

.

Доверительные границы случайной погрешности для результатов измерения вычисляют по формуле , где Т_Р – коэффициент, зависящий от вида распределения значений измеряемой величины Y, а также выбранной доверительной вероятности Р. При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы вычисляют в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений [74, 75]. Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенных измерений определяют, как было рассмотрено выше.

Этот метод целесообразно применять при наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов, а также при неизвестных распределениях погрешностей аргументов.

Примечание. При измерении средней плотности жидкости каждая проба дает пару аргументов: массы m_i и объема V_i .По этим величинам вычисляется отдельное значение плотности . Все полученные значения плотности образуют группу, которую можно обрабатывать методами, разработанными при прямых измерениях. Метод привидения может быть применен также, при измерении сопротивления резистора, если напряжение на резисторе может изменяться по условиям эксперимента. При этом одновременно изменяется и сила тока. Согласованное изменение этих аргументов позволяет получить достоверную группу измерений сопротивления, которая может быть обработана методами прямых измерений.

Оценку предельной погрешности косвенных измерений можно получить, используя полный дифференциал функции (9-12) [76]. Например для функции с двумя переменными YF(х₁, х₂) полный дифференциал будет равен

Если подставить в это выражение погрешности х₁ и х₂ со своими знаками, то можно оценить погрешность определения Y. Этот метод применим, если систематические погрешности оценки аргументов существенно больше, чем случайные погрешности. Например, это может иметь место при изменении ФВ (9-12) под влиянием температуры, изменения питающего напряжения или какого либо другого воздействующего фактора. При различных знаках изменения ФВ может иметь место частичная компенсация суммарной погрешности.

При случайной погрешности превышающей систематическую оценку погрешности ΔY можно производить по правилу «трех сигм», полагая .

Пример 9.3. Коэффициент трения определяется по формуле k_тр=F_тр/F_N. Измерением получены значения F_тр=50±0,5Н, F_N=1000±10H. Определить коэффициент трения.

Результат определения k_тр следует записать:

Таким образом, при систематическом характере составляющих погрешностей F_тр и F_N, суммарная погрешность может принимать значения от 0 до 110^-3. Результат определения предельной погрешности k_тр следует записать в виде:k_тр=(50±1) 10^-3.

В заключении целесообразно сделать ряд замечаний:

1) Формулы для вычисления суммарной (случайной плюс систематической) погрешностей прямых и косвенных измерений – подобны;

2) Записи результатов измерений также подобны; это не случайно, поскольку прямые измерения являются частным случаем косвенных измерений;

3) В измерительном процессе трудно, а иногда и нецелесообразно выделять искусственно «косвенную» или «прямую» составляющие измерений – их просто невозможно выделить;

4) Большинство СИ созданы как СИ косвенного измерения, например вольтметры, амперметры, измерители индуктивности и емкости, давления и другие, в которые являясь СИ косвенного измерения, тем не менее воспринимаются оператором, как СИ прямого измерения (по определению);

5) Метод приведения обработки косвенных измерений заменил процедуру косвенной обработки результатов измерений на прямой метод обработки с получением аналогичных результатов;

6) Оценка с помощью формулы полного дифференциала целесообразно проводить, используя предельные значения погрешности.