9.2. Обработка результатов прямых неравноточных измерений

Выше был представлен порядок обработки результатов равноточных измерений. При этом сами измерения могут состоять из одного ряда или группы равноточных измерений. Что же отличает равноточные измерения от неравноточных? Отдельные группы измерений, выполненные различными коллективами операторов (исследователей) в разное время и/или в разных местах одной и той же ФВ будут различаться по величине оценок как значения ФВ (среднего арифметического), так и дисперсии.

Для того чтобы понять можно ли объединить все измерения в одну большую группу и для этой группы вычислить все необходимые статистические характеристики, проводят исследования на однородность измерительных данных. Для этого используют различные критерии (Фишера, Бартлетта, Стьюденса и др.), позволяющие установить значимость расхождения в полученных дисперсиях и средних арифметических. Результаты всех оценок значимости расхождения того или иного параметра (или условное равенство параметров) принимают с заданной оператором вероятностью или уровнем доверия.

Тем не менее, результаты неравноточных измерений можно использовать для получения более представительных окончательных результатов, учитывая уровень рассеиваемости результатов измерений и их количество для каждой из групп в общем массиве измерений.

Основой для получения оценок результирующего среднего и дисперсии при неравноточных измерениях служат следующие исходные данные [77]:

1) Предполагается, что результаты измерений имеют нормальное распределение вероятности и внутри рядов равнорассеяны;

2) - известны средние арифметические m рядов измерений;

3) - известны оценкиCКО среднего арифметического результатов измерений в отдельных рядах;

4) - число измерений в каждом ряду.

Оценку среднего m групп измерений можно представить в виде:

(9-8)

Полученная оценка называется средним взвешенным и представлена двумя равноценными формулами. Обратные дисперсии, входящие в выражение (9-8) выступают как веса отдельных средних арифметических

(9-9)

Веса характеризуют степень доверия к соответствующему среднему арифметическому и чем меньше дисперсия, т.е. рассеиваемость результатов измерений в группе, тем больше доверия к результатам измерений данной группы. Дисперсия среднего взвешенного определяется из формулы для «геометрической» суммы дисперсийm рядов (групп) измерений:

(9-10)

Из (9-10) видно, что дисперсия среднего взвешенного меньше дисперсии любого из средних арифметических отдельных рядов измерений, поэтому совместная обработка нескольких рядов измерений позволяет повысить точность измерений ФВ.

Доверительная граница при n_j>20 может быть определена с помощью функции нормированного нормального распределения:

При малом числе нормально распределенных результатов измерений для определения доверительных границ используют распределение Стьюдента с числом степеней свободы, определяемой эмпирической формулой:

(9-11)

Пример 9-1. Тремя коллективами экспериментаторов с помощью различных методов были получены следующие значения ускорения свободного падения g₁ = (981,91900,0014) смс^-2; g₂ = (981,92150,0016) смс^-2; g₃ = (981,9230,002) смс^-2. В скобках приведены СКО результатов измерений в каждом из рядов.

Весовые коэффициенты отдельных рядов измерений вычислим по (9-9): Средневзвешенное в соответствии с уравнением (9-8) будет равно: и его СКО (см.9-10) . Полагая, что измерения имеют нормальное распределение, запишем окончательный результат в виде:g=981,9200,002 смс^-2 при доверительной вероятности Р=0,95.