ЯФ / Учебные пособия / Рыжакова Н.К. Ядерная физика и её приложения

Подавляющее большинство ядер испытывают разные виды радиоактивных распадов. В этом случае энергетические диаграммы имеют более сложный вид (рис. 3.3).

3.3.Законы радиоактивных распадов

Законом радиоактивного распада называют функцию N(t), которая описывает число радиоактивных ядер определённого сорта, содержащихся в некотором количестве радиоактивного вещества, в зависимости от времени. Функция N(t) может быть найдена путём решения соответствующего дифференциального уравнения, в котором учитываются процессы образования и распада радиоактивных ядер.

I. Сначала рассмотрим случай, когда ядра испытывают только одно превращение – радиоактивный распад. Пусть общее число радиоактивных ядер в любой момент времени t равно N. Тогда изменение числа радиоактивных ядер dN за промежуток времени dt будет равно числу распавшихся за это время ядер. Экспериментально установлено, что если промежуток времени dt мал, то число распавшихся за это время ядер пропорционально числу содержащихся в веществе ядер N:

Из соотношения (3.4) следует физический смысл коэффициента пропорциональности λ:

вероятность радиоактивного распада ядра в единицу времени, [λ] = 1/сек.

Величину λ называют постоянной распада; она не зависит ни от физических условий, в которых находится изотоп (давления, температуры, агрегатного состояния), ни от химического соединения, в которое он входит.

Очевидно, в результате радиоактивного распада общее количество ядер N, содержащихся в веществе, будет уменьшаться:

–dN = число распавшихся за время dt ядер,

или с учётом выражения (3.4):

–dN = λNdt.

Интегрируя это уравнение, получим основной закон радиоактивного распада(иногдаегоназывают закономпростогорадиоактивногораспада):

81

где N0 ≡N(0) – число радиоактивных ядер в момент времени t = 0 (рис. 3.4).

Рис. 3.4.Зависимость числа радиоактивных ядер, содержащихся в веществе, от времени t

Величина τ, обратная постоянной распада (τ= 1/λ), определяет среднюю продолжительность жизни радиоактивных ядер. Из формулы (3.5) видно, что за среднее время жизни τ число радиоактивных ядер уменьается в е раз. Часто радиоактивные ядра характеризуются периодом полураспада Т – временем, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшаетсявдвое. Величиныλ, τи Тсвязаны между собойсоотношением

Число активных ядер N трудно измерить непосредственно. На опыте, как правило, измеряется пропорциональная N величина, которая называется активностью:

Очевидно, активность равна количеству ядер, распадающихся за единицувремени. Сучётомвыражения(3.5) формуладляактивностиимеетвид

т. е. активность со временем убывает по экспоненциальному закону. Здесь А0 – активность источника в начальный момент времени.

Для больших периодов полураспада Т (десятки лет и более) время измерения активности t всегда много меньше Т, поэтому

λt = ln 2 Tt <<1 и e−λt ≈1. В этом случае активность практически не за-

висит от времени и можно полагать A(t) ≈A0.

82

Единицей измерения активности является Беккерель, равный одному распаду в секунду:

1Бк= 1 распс = 1с .

Иногда за единицу активности принимают число распадов, происходящих за 1 с в 1 г радия (период полураспада Ra составляет 1620 лет, поэтому его активность для реального времени измерения не изменяется). Эта единица в честь автора открытия радия (Мария СклодовскаяКюри) называется «кюри» (обозначается Ки) и равна 3,7·1010 распадов

всекунду, то есть 1 Ки = 3,7·1010 Бк.

Вполулогарифмическом масштабе зависимость (3.7) имеет вид прямой (рис. 3.5), причем тангенс угла наклона α равен постоянной распада λ:

Таким образом, если измерить активность источника в разные моменты времени t, а затем построить график lnA(t), то

Рис. 3.5. Зависимость логарифма активности от времени t

II. В радиоактивных рядах, приведенных в п. 3.1, простому распаду, строго говоря, подвержены ядра, с которых начинаются ряды – U238, U235, Th232. Все другие радиоактивные ядра участвуют в более сложном процес-

се, который называют сложным радиоактивным распадом – радиоактив-

ные ядра образуются в результате радиоактивного распада. Поэтому дифференциальное уравнение для функции Ni, описывающей количество ядер сорта i в любой момент времени t, учитывает не только их убыль в результате распада, но и прибыль за счёт распада предшествующих ядер:

83

В общем случае для отыскания функции Ni(t) нужно последовательно решить систему из i дифференциальных уравнений. Ниже рассмотрен самый простой, но имеющий практическое значение случай, когда i = 2. Тогда радиоактивную цепочку можно представить следующим образом:

На данной схеме N01, N02 – количество ядер соответствующего сорта в начальный момент времени; λ1 и λ2 – постоянные распадов.

Система уравнений в этом случае имеет вид

Решение уравнения (3.11) получено в п. I – это закон простого радиоактивного распада:

интегрируется методом вариации произвольной постоянной, т. е. решение уравнения записывается в виде

После подстановки формулы (3.15) в (3.14), с учётом (3.13) получим:

После интегрирования выражения (3.17), имея в виду начальные условия f(0) = N02, получим:

Подставив функцию f(t) в формулу (3.15), получим закон сложного ра-

диоактивного распада:

84

Рассмотрим случай, когда Т1 >> Т2 (λ1 << λ2). Если при этом N02 = 0, то выражение (3.18) упрощается:

N2 (t )= λ1λN01 e−λ1t −e−λ2t .

2

Проведём анализ полученной зависимости. Это удобно сделать с помощью графика функции N2(t), при построении которого временная ось разбивается на характерные интервалы – малые t ~ T2, средние T2 << t << T1 и большие t ~ T1 (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Зависимость числа ядер, испытывающих сложный радиоактивный распад, от времени

1.Если рассматривать малые t ~ T2 << T1, то e−λ1t ≈1 и

т. е. имеем возрастающую во времени функцию.

2. Для средних значений T2 << t << T1, e−λ1t ≈1, а e−λ2t ≈ 0, поэтому

N2 (t )= λ1λN01 = const .

2

Полученный результат удобно записать в виде векового уравнения,

или уравнения радиоактивного равновесия:

Физический смысл векового уравнения вполне ясен. Напомним, что произведение λN определяет число распавшихся за единицу времени ядер. Тогда из равенства (3.20) следует, что число ядер второго сор-

та, образовавшихся за единицу времени (λ1N1), равно числу распавшихся за это время ядер (λ2N2). Следует отметить, что при временах t >> 10·T2 равенство (3.20) выполняется уже с точностью около 99,9 %.

85

ного состояния (энергия покоя) является вполне определённой величиной. Но при малых t неопределённость в энергии может быть достаточно большой величиной, измеряемой на опыте.

Из законов сохранения полной энергии и импульса, записанных для процесса γ-излучения ядер (п. 3.7), следует, что спектр γ-квантов должен быть моноэнергетическим (рис. 3.7, а). Однако такой результат получен без учёта имеющегося разброса энергетических состояний возбуждённых ядер. Величина разброса E = Г в соответствии с фор-

мулой (3.21) зависит от времени жизни ядер τ. Так, например, если τ≈1 мин, то Г≈10–17 эВ, что существенно меньше характерных для

γ-квантов энергий (Еγ ≈сотни кэВ…ед. МэВ). В данном случае с высо-

кой точностью спектр γ-квантов можно считать моноэнергетическим. Но если время жизни τ ≈ 10–18 с, то Г≈1 кэВ, т. е. соизмеримая с Еγ ве-

личина (рис. 3.7, б). По измеренной ширине спектральной линии Г определяется время жизни γ-радиоактивных ядер τ= h/Г и, следовательно, постоянная распада λ= 1/τ. Следует отметить, что существуют прецизионные методы измерения ширины спектральной линии, относительная точность которых Г/Еγ достигает 10–15. Это методы резонансного поглощения γ-квантов ядрами, основанные на эффекте Мессбауэра. Эти методы позволяют существенно увеличить диапазон измеряемых значений τ (или Т).

Рис. 3.7. Спектральные линии γ-излучающих ядер. Распределение a (монолиния) соответствует большим временам жизни τ; распределение б – малым τ

87

II. Проще определить период полураспада, измеряя активность радиоактивного вещества в разные моменты времени. Соответствующая зависимость в полулогарифмическом масштабе изображена на рис. 3.5. Постоянная распада вычисляется по формуле (3.9). Однако непосредственно измерить убывание радиоактивности со временем можно только для таких ядер, которые имеют удобный в измерениях период полураспада от нескольких секунд до нескольких дней.

III. Большие периоды полураспада непосредственно измерить невозможно, так как для реальных времён измерения t << T активность остается величиной постоянной:

( ) −ln 2 t

A t = A0e T ≈ A0 = λN0 = const .

В данном случае период полураспада можно определить методом абсолютного счёта частиц, испускаемых известным количеством радиоактивного вещества N0, или при помощи векового уравнения. В качестве примера использования векового уравнения рассмотрим последовательный распад радия ( Ra88226 ) с периодом полураспада

TRa ≈1600 лет в радиоактивный газ радон ( Rn86222 ), который испускает α-частицы с периодом TRn ≈3,8 дней. В этом примере как раз ТRa >> TRn,

и для времени t 10TRn при N0Rn = 0 будет выполняться условие радиоактивного равновесия:

λRa NRa = λRn NRn ,

или

в котором препарат радия помещали в стеклянную колбу, соединённую с насосом. Во время работы насоса радон сразу же откачивался из колбы. Если в некоторый момент времени t = 0 колбу изолировать от насоса, то количество ядер радона в колбе сначала

начнёт возрастать по закону (3.19), а затем при t 40 дней станет величиной постоянной.

Величины NRa, NRn, TRn, входящие в формулу (3.22) можно измерить непосредственно: NRa и NRn – точным взвешиванием, а TRn – измеряя активность радона в разные моменты времени (п. II). Тогда TRa можно вычислить по формуле (3.22).

88

3.5.Альфа-распад

3.5.1.Основные экспериментальные результаты по альфу-распаду

1.Тяжёлые ядра с порядковым номером Z > 82 (тяжелее свинца) подвержены α-распаду. Исключением являются несколько ядер редкоземельных элементов, например, Sm14662 , Pt19078 .

2.Периоды полураспада α-радиоактивных ядер лежат в широком диапазоне от 3·10–7 с ( Po84212 ) до 5·1015 лет ( Nd14460 ).

3.Спектр α-частиц, испускаемых ядрами, является дискретным, и характерные значения кинетической энергии α-частиц, за редким исключением, заключены в пределах 4 МэВ Тα 10 МэВ.

4.Для α-радиоактивных изотопов одного и того же элемента установ-

лено, что кинетическая энергия α-частиц Тα уменьшается с ростом массового числа ядра. Сравнение кинетических энергий α-частиц,

испускаемых ядрами-изобарами, показывает, что Тα возрастает

с увеличением порядкового номера Z α-радиоактивных ядер.

5.При экспериментальном изучении свойств α-радиоактивных ядер

была установлена сильная зависимость постоянной распада λ от кинетической энергии α-частицы Тα. Эту зависимость называют

законом Гейгера–Неттола:

где А и В – эмпирические константы; постоянная В одинакова для всех трёх радиоактивных семейств, а постоянная А принимает разные значения в зависимости от семейства.

3.5.2. Энергетическое рассмотрение альфа-распада. Спектры альфа-частиц

Напомним, что α-распадом называется реакция следующего типа:

X ZA →YZA−−24 + He24 , He24 ≡α .

Необходимым условием самопроизвольных превращений ядер является их энергетическая выгодность, т. е. масса исходного ядра должна быть больше суммы масс продуктов реакции. Для α-распада это условие имеет вид

mX > mY + mα ,

или

89

Если в неравенстве (3.24) от масс ядер перейти к энергиям связи этих ядер (см. п. 2.1), то условие α-распада примет вид:

где εX ,εY ,εα – удельные энергии связи соответствующих ядер. Для анализа неравенство (3.25) удобно писать следующим образом:

Из кривой для удельной энергии связи (см. рис. 2.1) видно, что оба слагаемых в выражении (3.26) для лёгких ядер принимают отрицательные значения, что не удовлетворяет условию (3.26). Первое слагаемое

больше нуля для ядер с массовым числом А 60, но в этой области значений А разница (εY − εX ) очень мала, так как массовые числа исходно-

го и дочернего ядра незначительно отличаются друг от друга. Следовательно, основной вклад в условие энергетической выгодности α-распада даёт второе слагаемое, которое больше нуля для дочерних ядер с удельной энергией связи εY <εα ≈ 7,1 МэВ. Это ядра с массовыми числами

А 220, т. е. ядра тяжелее свинца.

Законы сохранения энергии и импульса для реакции α-распада

Из выражений (3.29, 3.30) видно, что Tα >> TY, поскольку α-распаду подвержены тяжёлые ядра (mY >> mα). Таким образом, основная часть выделяющейся при α-распаде энергии уносится α-частицей как гораздо более лёгкой, чем дочернее ядро. Кроме того, из формулы (3.29) следует, что энергия α-частиц имеет вполне определённое значение. Соответственно, спектры α-частиц должны быть моноэнергетическими.

На самом деле спектры являются дискретными, т. е. ядра испускают α-частицы с энергиями, принимающими ряд значений (рис. 3.8).

90