ЯФ / Учебные пособия / Рыжакова Н.К. Ядерная физика и её приложения

числа протонов. Это объясняется необходимостью компенсировать ядерным притяжением нейтронов быстро возрастающую (~ Z2) энергию электростатического отталкивания протонов.

Пятый член формулы (2.6) Wспин учитывает эффект спаривания ну-

клонов в ядрах. В данном случае он отражает тот факт, что наибольшей энергией связи обладают ядра, в которых содержится чётное количество нейтронов и чётное количество протонов (так называемые чётно – чёт-

ные ядра). Для таких ядер Wспин > 0. Наименее прочными являются ядра, в составе которых имеется по одному неспаренному протону и нейтро-

ну (нечётно – нечётные ядра). Для них Wспин < 0. Промежуточное значение энергии связи (Wспин = 0) имеют ядра с нечётным числом нуклонов

(нечётно – чётные или чётно – нечётные ядра).

Формула Вейцзекера позволяет рассчитать не только энергии связи ядер, но и их массы:

Интересно сравнить близкие по массе ядра-изобары. Разумеется, среди них всегда существует ядро с наименьшей массой и, следовательно, с наибольшей энергией связи. Очевидно, это ядро будет наиболее устойчивым (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Зависимость массы ядер-изобар от порядкового номера Z: а) А – нечётное; б) А – чётное

31

Соседние ядра-изобары с бόльшими массами являются неустойчивыми и путём β-распадов переходят в устойчивое состояние с минимальной массой. Порядковый номер устойчивого ядра можно определить, исследуя на экстремум выражения (2.6) или (2.8) при постоянном А:

Результат, полученныйвтоми другомслучае, будетпрактически одинаков.

2.3.Размеры ядер

Из-за малости размеров ядер все методы их «обмера» являются косвенными. Наибольшее распространение получили методы, основанные на измерении дифференциальных по углу сечений рассеяния частиц на ядрах. Для этого обычно используют тяжёлые заряженные частицы, например, α-частицы и протоны, нейтроны и электроны.

Очевидно, зависимость дифференциального по углам сечения определяется многими факторами, в том числе и характерными размерами объекта, на котором происходит рассеяние. С точки зрения интерпретации результатов опытов очень важным является соотношение между размерами объекта (в нашем случае радиусом ядра Rя) и длиной волны де Бройля частицы λ.

Длина волны де Бройля определяется энергией Е (или импульсом р) и массой частицы m:

где k – длина волнового вектора k , ориентированного вдоль направления движения частиц (волн); D – приведённая длина волны де Бройля.

Если D << Rя , то взаимодействие частицы с ядром в большей сте-

пени похоже на столкновение двух частиц (рис. 2.4, а). Этот случай характерен для высоких энергий падающих на ядро частиц.

Рис. 2.4. Схематичное изображение столкновения частицы с ядром: а) частица проявляет корпускулярные свойства;

б) частица проявляет волновые свойства

32

При низких энергиях D > Rя , и рассеяние в этом случае удаётся

описать, представляя падающую частицу в виде плоской волны (рис. 2.4, б). Такое представление даёт возможность объяснить наличие минимумов и максимумов в дифференциальных по углу сечениях рассеяния, как результат дифракции волн на непрозрачном объекте. Теория дифракции, основанная на принципе Гюйгенса, позволяет оценить угловую ширину центрального дифракционного кольца:

θ≈ DRя .

2.3.1.Определение размеров ядер в опытах по рассеянию тяжёлых заряженных частиц

Исторически самыми первыми опытами, в которых удалось дать верхнюю оценку размеров ядер, были классические опыты Резерфорда по рассеянию α-частиц в тонких металлических фольгах. В опытах использовались такие пластичные металлы, как золото, платина, из которых удавалось изготовить фольги очень малой толщины. Источником α-частиц служили радиоактивные препараты, испускающие частицы с

кинетическими энергиями Тα 10 МэВ. Зависимость сечения от угла рассеяния θ, измеренная в опыте, имеет вид

Резерфорду удалось получить эту зависимость аналитически, предположив, что ядро и α-частица являются точечными зарядами, испытывающими кулоновское отталкивание. Используя закон сохранения энергии, нетрудно оценить минимальное расстояние RЕ (рис. 2.5), на которое может подойти α-частица к ядру при лобовом соударении:

E (∞)= Tα =Vкул (RE )= 2Ze2 . RE

Отсюда для золота имеем:

Очевидно, радиус ядра должен быть меньше значения RЕ. «Почувствовать» размеры ядра можно, увеличив энергию

α-частицы настолько, чтобы она могла вплотную подойти к ядру (этот же результат может быть получен при уменьшении заряда ядра мишени Z). Но при таких условиях опыта на α-частицу будут действовать не только

33

кулоновские, но и ядерные силы. Следовательно, измеренное сечение

будет отличаться от резерфордовского ddσΩ p . На рис. 2.6 представлены

результаты более поздних опытов по рассеянию α-частиц с энергией 22 МэВ в свинцовой мишени (Z = 82). Видно, что при углах рассеяния

θ 90° экспериментальное сечение совершенно не согласуется с предположением о кулоновском характере взаимодействия.

Рис. 2.5. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия заряженной частицы с ядром от расстояния

Рис. 2.6. Дифференциальное по углу сечениe рассеяния α-частицы с кинетической энергией 22 МэВ в свинцовой мишени

Известно, что в случае движения частицы с зарядом q и кинетической энергией T в центральном поле вида 1/r (например, в поле куло-

34

новских сил) угол рассеяния θ однозначно связан с прицельным параметром b (рис. 2.7):

Рис. 2.7. Схематичное изображение рассеяния частицы на ядре

Расчёт для α-частицы с q = 2 даёт при θ≈90° b ≈10 Ф. Поскольку радиус действия ядерных сил очень мал и составляет ~ 1 Ф, можно им пренебречь и считать, что найденный прицельный параметр (точнее, соответствующее ему минимальное расстояние a) по порядку величины равен сумме радиусов ядра и α-частицы.

Эксперименты по рассеянию α-частиц на разных ядрах – мишенях позволили установить характер зависимости радиусов ядер от массового числа А:

Rя ≈ r0A1/3, r0 ≈ (1,4…1,5) Ф.

Из приведённых рассуждений ясно, что анализ результатов по рассеянию α-частиц проводился с учётом корпускулярных свойств взаимодействующих частиц. Это оказалось оправданным, так как для α-частиц с энергией Тα ≈10 Мэв и выше, длина волны де Бройля не превышает 10–13 см, т. е. примерно на порядок меньше радиусов ядер, на которых рассеивались α-частицы.

2.3.2. Определение размеров ядер в опытах по взаимодействию нейтронов с ядрами

Анализ результатов этих опытов проще, так как нейтроны испытывают только ядерное взаимодействие. Кроме того, в опытах использовались нейтроны с энергиями (10…20) МэВ, для которых λ≈Rя, поэтому измеренное в геометрии тонкой мишени дифференциальное сечение имеет типичный для дифракционного рассеяния вид (рис. 2.8).

Анализ сечений для разных ядер показал, что угловая полуширина центрального «пятна» убывает как А–1/3 в соответствии с соотношением:

θ ≈ DRя .

35

2.3.3. Опыты по рассеянию быстрых электронов на ядрах

Электроны являются наиболее подходящими для определения размеров ядер частицами, так как между электроном и ядром действуют электромагнитные силы, законы которых точно известны. В опытах использовались релятивистские электроны с энергиями в сотни мегаэлектронвольт и выше, для которых:

E ≈ pc; D = hp = hEc = 193hМэВc 193EМэВ 10–13 см.

Для средних и тяжёлых ядер полученные значения на порядок меньше размеров ядра, поэтому электроны в опытах должны проявлять преимущественно корпускулярные свойства. В этом случае эффективное сечение упругого рассеяния электронов на точечном ядре описывается формулой Резерфорда для релятивистского случая. Соответствующая кри-

36

вая представлена на рис. 2.9, но она проходит далеко от экспериментальных точек, что объясняется отличием ядра от точечной частицы.

Рис. 2.9. Угловое распределение упруго рассеянных электронов с энергией 153 МэВ на золоте. Кривая А соответствует равномерному по объёму ядра распределению заряда; В – распределению заряда с диффузным краем

Если заряд распределен по объёму сферически-симметричного ядра с плотностью ρ(r), дифференциальное эффективное сечение выражается формулой

Обработка результатов измерений заключается в подборе функций ρ(r), которые дают наилучшее согласие с экспериментом. Например, равномерное распределение заряда по объёму ядра (кривые А, рис. 2.9) не даёт хорошего согласия с экспериментом, особенно на больших уг-

37

лах. Наилучшим образом наблюдаемые угловые распределения воспроизводит распределение заряда с диффузным краем (кривые В).

Проводившийся таким образом для большого числа ядер анализ привел к выбору функции, описывающей распределение заряда в ядре в следующем виде:

где Rc = r0A1/3; r0 ≈(1,1…1,2)10–13 см; a = 2,2·10–13 см; константа ρ0 может быть найдена из условия нормировки плотности заряда:

Ze = ∫ρ (r )dV .

Vя

Коэффициент 0,228 введен для того, чтобы параметр а имел простой смысл ширины диффузного слоя, на котором плотность электрического зарядаядраубываетот0,9 до0,1 плотностизарядавцентреядра(рис. 2.10).

Рис. 2.10. Параметры плотности распределения заряда ядра

Из вида функций ρ(r) следует, что Rc – это расстояние от центра ядра, на котором плотность заряда убывает вдвое; величину Rc называют

зарядовым радиусом ядра.

Таким образом, изучение рассеяния электронов на ядрах позволяет не только определить характерные размеры ядра, но и установить, как распределён заряд в ядре. На рис. 2.11 приведены кривые, описывающие распределение заряда в различных ядрах, из которых видно, что плотность заряда

вцентре ядра для большинства ядер, исключая самые лёгкие, примерно одинакова и составляет (1…1,25)·1015 Кл/см3. Кроме того, влияние поверхностного диффузного слоя наиболее велико в лёгких ядрах. Представление о ядре, как об объекте с чёткими границами, которое мы использовали

впредыдущих пунктах, очевидно, наиболее приемлемо для тяжёлых ядер, укоторыхтолщинадиффузногослоясравнительно невелика.

38

рассеянию. Размеры ядер, хорошо согласующиеся с результатами опытов по рассеянию, проявляются в кулоновских энергиях ядер, смещениях линий в атомных спектрах (см. соответственно пп. 2.1 и 2.6 данной главы), ядерных реакциях, например, α-распаде (п. 3.4.). Именно согласие всех этих данных и делает понятие радиуса ядра объективной реальностью.

2.4.Механические моменты ядерных частиц. Ядерные спины

Спином ядра Jr называют

механический момент ядра.

Как известно, механический момент, или момент импульса точечной частицы (рис. 2.12),

определяется по формуле

GA =[rG, pG].

Если частица классиче-

У квантовыхr частиц, таких, как ядра и нуклоны, на величину и направление вектора l накладываютсяr ограничения, обусловленные их волновой

природой. Так длина вектора l, который в квантовой механике называют орбитальныммоментом, можетприниматьследующие значения:

Квантовое число ℓ называютrорбитальным квантовым числом.

Направление вектора l в пространстве (как и любой другой векторной величины квантовой частицы) может быть задано с помощью только одной проекции, например, на ось z. Две другие проекции в опыте себя не проявляют из-за квантово-механической прецессии векторов относительно выбранного направления. В результате их средние значения за время измерений равны нулю. В соответствии с праr вилами кван-

товой механики разрешены только такие направления l , для которых проекции на ось z принимают следующие значения:

Здесь m – азимутальное квантовое число, которое может приниматьr (2ℓ +1) значение; столько же разрешённых направлений у вектора l.

40