Sandrakova_Funktsii_mnogikh_peremennykh_2015

Пусть f имеет координатное представление (задано координатными функциями)

y j = f j (x1 ,…, xm ) , j =1, 2,…, n .

Теорема 5.1. Отображение f : G → Rn области G Rm дифференцируемо в точке x G тогда и только тогда, когда в этой точке x дифференцируема каждая функция f j ( x1 ,…, xm ) , j =1, 2,…, n координатного представления отображения f.

Определение 5.5. Непрерывное отображение f : G → Rn облас-

Определение 5.6. Отображение f : G → Rn называется гладким на G, если j , j =1, 2,…, n f j ( x1 ,…, xm ) класса C∞ на G.

Теперь нас будет интересовать локально обратимое отображение, т.е. такое отображение f : G → Rn , G – область в Rm, чтоU ( x) – окрестность точки x, U ( x) G и такая, что сужение ото-

51

Тогда отображение f–1 дифференцируемо в точке y = f (x) , и справедливо равенство ( f −1 )′( y) =[ f ′(x)]−1 .

Таким образом, из этой теоремы следует, что взаимно обратные дифференцируемые отображения имеют в соответствующих точках взаимно обратные касательные отображения.

Прежде чем приступать к примерам, рассмотрим ещё несколько определений, связанных с отображениями.

Определение 5.7. Пусть f : G → D , где G – область в Rm, D – об-

ласть в Rn. Отображение f называется гомеоморфизмом, если f взаимно однозначноеотображениеи f, f –1 непрерывнынаG иD соответственно.

Определение 5.8. Отображение f : G → Rn , G – область в Rm,

m ≤ n , называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки x G существуетокрестность U (x) G , накоторойf гомеоморфизм.

Определение 5.9. Гладкое отображение f : Rm → Rn называет-

странств Tx Rm и f ′(x)(Tx Rm ) Tf ( x) Rn .

Определение 5.10. Погружение f называется вложением, если оно является гомеоморфизмом на свой образ.

Пусть гладкое отображение f : Rm → Rn представляется в координатах системой функций y j = f j (x1 ,…, xm ) , j =1, 2,…,n , и все

функции гладкие, т.е. класса C∞ на Rm. Составим матрицу Якоби этой системы функций

52

столбцам в некотором фиксированном базисе, связанном с выбранной системой координат (x1 ,…, xm ) , то Af j ( x) – линейный оператор,

Теорема 5.3. Гладкое отображение f : Rm → Rn является погружением тогда и только тогда, когда rang Af j = m .

Рассмотрим свойства некоторых отображений f в следующих примерах.

Пример 5.1. Даны пространства R1 с координатой x, R2 с координатами ( y1 , y2 ) ; f : R1 → R2 и пусть f представлено координатными функциями:

y1 = f 1 (x) = x2 ; y2 = f 2 (x) = x3 .

Решение. Это отображение гладкое, так как х2, х3 – многочлены.

53

выступает в роли параметра. Отображение f является взаимно однозначным отображением R1 на f(R1).

Пример 5.2. Пусть f : R1 → R2 , R1 (x) , R2 ( y1 , y2 ) , и в координатах f представляет система координатных функций:

y1 = f 1 (x) = x2 ; y2 = f 2 (x) = x3 − x .

Решение. Это дифференцируемое отображение в каждой точке x R1 , так как оно представлено многочленами:

rang Af j ( x) =1 в каждой точке x R1 . Следовательно, согласно тео-

реме 5.3 это – погружение. Но это отображение не является взаимно однозначным. Точки xˆ = −1 и x =1 переходят при этом отображении в одну точку y0 = (1, 0) . Образ R1 при отображении показан

на рис. 5.2.

Отображение f является локальным гомеоморфизмом, так как согласно теореме о неявных функциях система уравнений

y1 − x2 = 0;

y2 − x( x2 −1) = 0,

где на три независимые переменные накладывается две связи при условии, что rang Af j ( x) =1 , для всех x R1 может быть локально

разрешима, что устанавливает взаимно однозначное гладкое ото-

Рис. 5.2

54

Если выбрали (0, y), то

3. Исследуем отображение f на дифференцируемость; f представляется системой функций:

x= f 1 (ϕ,ρ) = ρcosϕ ;

y= f 2 (ϕ,ρ) = ρsin ϕ;

f 1 (ϕ, ρ) и f 2 (ϕ,ρ) – линейные функции от переменного ρ, и тригонометрические функции sinϕ и cosϕ – дифференцируемые функции переменного ϕ. Функции f 1 (ϕ, ρ) и f 2 (ϕ,ρ) дифферен-

цируемы в каждой точке плоскости (ϕ, ρ). Найдем касательное отображение df (ϕ,ρ)

Линейное отображение df в точке (ϕ, ρ) задается матрицей Яко-

при всех ϕ. Следовательно, согласно теореме 5.3 это отображение не является погружением.

Постараемся разобраться, как осуществляется это отображение. Так как sinϕ и cosϕ есть 2π-периодические функции, то точки (ϕ0 + 2πn,ρ) при ρ ≠ 0 переходят в одну и ту же точку плоскости

(x, y) =(ρcosϕ0 ,ρsin ϕ0 ) (ρ фиксировано). И все точки оси ϕ: ρ = 0

56

переходят в точку (0, 0) Rx2, y . Следовательно, отображение f не

является взаимно однозначным.

Но остается непонятным следующий факт: склеиваются точки (ϕ0 + 2πn,ρ) , ρ ≠ 0, n Z , а ранг матрицы Якоби остается равным

2, а при склеивании между собой точек (ϕ, 0), где ϕ произвольно, f : (ϕ,0) →(0,0) ,

ранг матрицы Якоби становится равным 1. Во всех этих точках матрица Якоби вырождается.

Будем осуществлять отображение f постепенно. Сначала, ис-

Рис. 5.5

Одна полоса наклеивается на другую, и края полосы склеиваются между собой.

На полученном цилиндре выделяется окружность γ, являющаяся образом оси ϕ при этом промежуточном отображении. Затем, учитывая, что все точки вида (ϕ,0) → γ →(0,0) , мы затянем «талию» γ в точку B. Получается «хлопушка» с одним концом. Потом, поместив точку B на плоскости Rxy2 в начале координат, верхнюю часть

«хлопушки» – над Rxy2 , а нижнюю – под плоскостью Rxy2 , мы начнем аккуратно наклеивать «хлопушку» на плоскость Rxy2 . При этом

57

нижнюю часть «хлопушки» надо предварительно повернуть на 180° против часовой стрелки, и только после этого аккуратно взаимно однозначно наклеивать на плоскость Rxy2 . Это происходит

потому, что полуполоса

отображается в первый квадрант плоскости Rxy2 : x ≥ 0, y ≥ 0, и в него же отображение f переводит кусок

Аналогично со всеми остальными кусками полосы τn, n Z. Мы получили отображение f. При этом поняли, что в каждую

точку плоскости Rxy2 (кроме точки O(0, 0)) отображается счетное множество точек плоскости Rϕρ2 , причем счетное множество точек из верхних полуполос τ+n : ρ > 0 , n Z, и счетное множество точек из нижних полуполос τ−n : ρ < 0 , n Z.

Но каждая из этих точек (ϕ,ρ) , ρ ≠ 0 является точкой локальной гомеоморфности отображения f. Для понимания этого доста-

оси ϕ, и в нее не попадут точки, которые f склеивает из-за периодичности cosϕ, sinϕ. Следовательно, f гомеоморфно отображает

Uδ (ϕ,ρ) , ρ ≠ 0 → f (Uδ (ϕ,ρ))

(на свой образ). А с точками оси ϕ дело обстоит совсем не так. Все точки оси ϕ переходят при отображении f в одну точку O(0, 0).

Возьмем произвольную точку оси ϕ, (ϕ, 0) (рис. 5.6).

58

n

1− ∑(xk )2

k =1

Решение. Отображение f задано гладкими функциями на Dn.

Значит, f и f–1 – гладкие гомеоморфизмы. Следовательно, Dn и Rn диффеоморфны.

Пример 5.5. Пусть f : Rxn → Ryn (т.е. m = n N ) и f представлено формулами

y j = f j (x1 ,…, xn ) ; j =1, 2,…,n ,

59

званный этим вектором смещения вектор приращения отображения f (x,h) = f (x + h) − f (x) .

торов смещения, а ω(x, h) = o(h) при h → 0 . Запишем все в координатах

он, как линейный оператор, может быть представлен квадратной матрицей A = (aij ) , матрицей Якоби системы функций ( f (x)) j , где

60