курсовая_2часть

2.3.Составление операторных уравнений для изображения тока I(p) и

напряжения U(p)

Преимуществом операторного метода является то, что анализировать полученную схему замещения можно пользуясь любым из известных методов анализа цепей в установившихся режимах. Для выбора метода целесообразно заранее проанализировать их эффективность в зависимости от структуры цепи и искомой переменной. Так если цепь достаточно проста, то любую из переменных можно вывести пользуясь законами Кирхгофа. Если же необходимо найти напряжение на конденсаторе, а он является единственным элементом ветви, как в рассматриваемом примере, то удобнее использовать метод узловых напряжений, тогда как найдя сначала ток IC(p) другим способом придется искать это напряжение через формулу замещения

Для нахождения тока в индуктивном элементе рекомендуется воспользоваться методом контурных токов, иначе при найденном изначально напряжении UL(p) опять же придется воспользоваться формулами замещения. В данном случае это

Так как в рассматриваемом примере необходимо определить две переменные, то при выборе любого метода все равно придется использовать формулы замещения. Для варианта а) рассчитаем сначала токи, проходящие через емкостной и индуктивный элементы. Для этого по законам Кирхгофа составим систему уравнений для схемы рис.2.2.

После подстановки первого уравнения системы во второе получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными IL(p) и IC(p)

19

Подставим в полученную систему известные величины, и дальнейшее решение будем проводить в цифрах, так как это заметно уменьшит громоздкость получаемых выражений и возможность ошибки.

Теперь, найдя определители, определим токи, протекающие через динамические элементы

20

Для индуктивного элемента по выражению (2.5) уже можно искать оригинал тока, для емкостного требуется найти напряжение, которое в данном случае можно определить с помощью формулы замещения (2.1):

Выражения, заключенные в фигурные скобки, в формулах (2.5) и (2.7) должны совпадать с характеристическим уравнением найденным при решении задачи классическим методом, что свидетельствует о правильности решения.

Для определения напряжения на конденсаторе в варианте б) воспользуемся методом узловых напряжений. В качестве опорного возьмем нулевой узел, узловое напряжение U10(p) будет являться также искомым напряжением на конденсаторе UC(p).

откуда

Подставив численные значения в (2.8) можно искать оригинал полученного изображения:

21

Для определения изображения тока через индуктивность воспользуемся тем же методом решения, что и для варианта а), тогда

Выражение, заключенное в фигурные скобки, в знаменателе формул (2.9) и (2.10) должно совпадать с характеристическим уравнением найденным при решении задачи классическим методом, что свидетельствует о правильности решения.

Полученные в этом пункте выражения для искомых переменных (2.5), (2.7), (2.9), (2.10) не являются окончательными, так как представляют собой лишь их изображения. Для получения окончательного результата необходимо найти соответствующие оригиналы.

2.4.Нахождение соответствующего оригинала i(t) или U(t)

Переход от решений, найденных в виде изображений в предыдущем пункте, к окончательным решениям, то есть к решениям в виде функций времени, осуществляется либо по таблицам типа таблицы Прил.2, либо по

теореме разложения5.

В соответствии с теоремой разложения изображению в виде

где а и b - вещественные коэффициенты, причем m << n, а A(p) и B(p) не имеют общих корней, приведенному к виду

где р1, р2,..., рk,..., pn - корни полинома В(р), то есть корни уравнения В(р) = 0, соответствует оригинал

k 1 B (pk )

5 Кроме двух вышеперечисленных способов перехода от изображению к оригиналу, можно воспользоваться так называемым обратным преобразованием Лапласа, которое применяется очень редко в виду крайней сложности его использования, и при выполнении данной работы этот способ перехода не рекомендуется.

22

где B'(pk) - первая производная полинома В(р).

Выражение (2.13) дает оригинал в окончательном виде лишь для простых вещественных корней pk. Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует два комплексно-сопряженных слагаемых под знаком суммы в (2.13) При этом достаточно вычислить лишь одно число из двух сопряженных, так как сумма, соответствующая этим двум слагаемым равна удвоенному значению действительной части, найденной для одного из корней. Мнимые части обоих слагаемых, отличающиеся друг от друга только знаком, в сумме дадут 0. Так, например если корни уравнения В(р) = 0 имеют вид p1,2 j св , получим оригинал

Если среди корней уравнения В(р) = 0 имеется нулевой, то из (2.13) получаем

Величина A(0)B' (0) является постоянным установившимся значением функции f(t) (тока или напряжения). Поэтому В(р) может иметь нулевой корень, если в цепи содержится источник постоянного напряжения или тока. Определив эту величину, еще не завершив расчет, можно уже судить о правильности проделанных на этом этапе вычислений, сравнивая ее с соответствующей величиной в табл.1.2 для t .

В литературе можно встретить и еще одну формулу оригинала для изображения имеющего в числителе нулевой корень. Действительно, если представить полином В(р) как рD(p), то оригинал можно найти следующим образом:

Для действительных корней эта формула ни сколько не упрощает решения, если только у студента не возникает проблем с взятием производной третьей степени. Однако в случае комплексных корней (переход от одной формы записи комплексного числа к другой см. Прил.3) при использовании формулы (2.16) отпадает необходимость возведения в квадрат комплексного числа, что в некоторой степени ускоряет расчет. Таким образом, принимая во внимание пояснения к формуле (2.14) можно сформулировать эту формулу и для одного нулевого и двух комплексно-сопряженных корней

23

Для наглядности применения способов перехода от изображения к оригиналу при решении нашей задачи воспользуемся обоими в вариантах а) и

б).

Найдем оригинал тока через индуктивность в варианте а) с помощью таблицы перехода. Для этого разложим выражение (2.5) на простейшие дроби следующим образом:

Так как корни уравнения в фигурных скобках выражения (2.5) были найдены еще при решении задачи классическим методом, то вместе с нулевым корнем они дадут нам все три искомые корня полинома В(р)

Тогда в соответствии с (2.18) выражение (2.5) будет иметь вид

p( p 204 )( p 4896 )

( C1 C2 C3 ) p 2 C1( 4896 204 ) C2 4896 C3 204 p C1 204 4896 . p( p 204 )( p 4896 )

Составив систему из трех уравнений из последнего выражения и из (2.5) найдем неизвестные коэффициенты Сk.

Для изображения с известными коэффициентами легко найти оригинал, как сумму оригиналов в строке 2 таблицы Прил.2. Необходимо добавить, что здесь кроме таблицы перехода нами используются еще и свойства преобразования Лапласа, а именно 1) изображение суммы оригиналов равно сумме изображений этих оригиналов

24

и 2) постоянный множитель при переходе от изображения к оригиналу переносится без изменений

AF(p) Af (t)

Таким образом, изображению

соответствует оригинал

i L ( t ) 7 5 ,2e 204t 0 ,2e 4896t ( A ) . (2.20)

В том же варианте а), но для изображения напряжения на емкости найдем оригинал по теореме разложения. Для этого из выражения (2.7) выделим полиномы А(р) и В(р), для которого сразу же найдем производную

A( p ) 20 p 2 6 ,02 105 p 7 107

B( p ) p p 2 5,1 103 p 106

B ( p ) 3 p 2 10,2 103 p 106

Корни уравнения В(р) = 0 уже найдены - (2.19), теперь определим слагаемые в формуле (2.15), подставив числовые значения корней в полиномы числителя и знаменателя

рассматриваемой переменной после окончания переходного процесса, то сравнив ее с аналогичной в табл.1.2 убеждаемся, что расчет проводится верно. Далее

Теперь осталось только подставить полученные значения в формулу и получить искомый оригинал:

Рассмотрим нахождение оригинала в варианте б). Здесь расчет несколько усложняется за счет того , что корни

комплексные, однако принцип остается тот же. Определим ток iL(t) по таблице перехода, но здесь в отличие от варианта а) будем искать в таблице оригинал

25

соответствующей всему выражению (2.10) в целом, а не его слагаемым. В общем виде его можно записать как

Зная корни знаменателя: p1 = 0, p2,3 j , где 02 2 разложим знаменатель на простейшие дроби

p(p p2 )(p p3 ) p(p j )(p j )

p (p )2 2 .

Теперь выражение (2.22) можно записать в виде

которому соответствует оригинал в строке 10 Прил.2.

Подставим числа в выражение (2.23) и получим наше изображение в табличной форме

Поэтому для точного определения угла, который может быть в пределах от 0 до 2 , необходимо проанализировать следующее: если в полученном выражении

B2 D cos 0 (см. формулы (1.5) и (1.6)), то , если B2 0 , то . Произведя подстановку, получаем

72

26

Напряжение UC(t) в варианте б) найдем по теореме разложения. Так как корни знаменателя (2.9) - комплексные и один нулевой, воспользуемся для нахождения оригинала формулой (2.17). Для начала определим полиномы

Это слагаемое определяет установившееся значение рассматриваемой переменной после окончания переходного процесса и сравнив его с аналогичной величиной в табл.1.2 убеждаемся, что расчет проводится верно.

Далее определим слагаемые, соответствующие паре комплексносопряженных корней. Для этого сделаем расчет слагаемого лишь для одного

p1 ( 1 j3 )104 ,

A( p1 ) 2 ( 2 6 j )108 , D ( p1 ) 6 j 104 .

Подставим полученные значения в формулу (2.17).

27

и получим окончательный результат в виде:

Сравнив полученный результат - (2.20), (2.21), (2.22) и (2.23) с тем, что мы получили при расчете этой же задачи классическим методом, можно сделать вывод о правильности проведенного решения в обоих случаях.

28