курсовая_2часть

хсв(t) - свободная составляющая - решение соответствующей системы однородных дифференциальных уравнений. При вещественных корнях находится в виде суммы экспоненциальных функций, количество которых равно числу корней характеристического уравнения, а значит и его порядку. Для системы второго порядка свободная составляющая имеет вид

При комплексных корнях свободную составляющую можно выразить через тригонометрические функции. При этом

применяя формулу Эйлера

e j свt cos свt j sin свt ,

имеем

xСВ(t) e t (A1 A2 )cos свt j(A1 A2 )sin свt ,

где переобозначив постоянные интегрирования как

Такая форма записи удобна для нахождения постоянных интегрирования и построения точных графиков переходных процессов с помощью ЭВМ и программируемых калькуляторов, но для приближенного построения свободную составляющую целесообразно выразить не через сумму тригонометрических функций, что усложняет процесс построения, а через один синус аргумента св t следующим образом:

Действительно, раскрывая синус суммы

e t D sin свt e t D sin cos свt D cos sin свt

9

и сравнивая полученное выражение с (1.5) получим

B1 D sin , B 2 D cos .

Откуда определяются выражения для определения D и :

В выражениях для свободной составляющей коэффициенты A1, A2, B1, B2, D и- произвольные постоянные интегрирования. Таким образом, общее решение системы уравнений для цепи второго порядка при вещественных разных корнях

уравнений) составленных для t=+0 в п.1.1.2. Например, если необходимо узнать

10

Уравнения (1.11) и (1.12) с известными из (1.9) и (1.10) правыми частями образуют систему, решая которую определяем А1 и А2.

Аналогично, для комплексных корней из (1.8) получаем систему уравнений для определения В1 и В2.

x( ) B1 x( 0)

Вычислим постоянные интегрирования для x(t) iL (t)

11

1.6.Построение кривой переходного процесса для заданной функции

При выполнении всех задач по анализу переходных процессов требуется построение графиков изменения токов и напряжений во времени. Для этого используют рабочие формулы вида (1.6) и (1.7). В рассматриваемом примере это (1.13), (1.14) для варианта а) и (1.17), (1.18) для варианта б). Кривые могут быть построены точно или приближенно.

При точном построении графиков рассчитывается определенное количество точек, принадлежащих кривым через заданные интервалы времени (шаг расчета).

Для построения экспоненциальных функций обычно задают значения времени t 0, , 2 , 3 , 4 .Этих значений вполне достаточно, так как при t 4

имеем e 4 0,02 , то есть свободная реакция уменьшается примерно в 50 раз по сравнению с начальным значением. Следует отметить, что для цепи первого порядка - это величина обратная единственному корню, а для цепи второго порядка при определении масштаба графика будем считать ее величиной обратной наименьшему из двух рассчитанных корней, так как для затухания экспоненты с таким показателем степени потребуется больше времени.

Если строиться кривая колебательного процесса, то выбираются 10 15 точек с шагом

Для сокращения времени, затрачиваемого на расчеты точек кривых, рекомендуется воспользоваться программируемыми калькуляторами или ЭВМ.

При построении кривых тока для вариантов а) и б) по выражениям (1.13) и (1.17) в рассматриваемом примере в обоих вариантах использованы машинные методы, результаты приведены на рис.1.5 и 1.7.

Приближенное построение кривых состоит в том, что вначале строят отдельно установившуюся и свободную реакции. И затем суммируют их координатно в соответствии с равенством (1.3).

Если хсв(t) определяется суммой экспоненциальных функций (корни вещественные), то с достаточной для практики точностью кривую можно построить, используя свойство экспоненты, состоящее в том, что отрезок под касательной в любой точке кривой равен . Сложив графически две полученные экспоненты для получения окончательного графика достаточно поднять или опустить полученный на предыдущем этапе на величину хуст.

Построенная таким образом кривая напряжения по выражению (1.14) для рассматриваемого примера варианта а) приведена на рис.1.6.

Если же процесс колебательный (корни комплексные) свободная реакция приводится к виду (1.6) и вначале строят две экспоненциальные кривые De t и De t , ограничивающие кривую переходного процесса. Затем между ними

13

располагают затухающую по построенным экспонентам синусоидальную кривую с частотой cв и с учетом сдвига по фазе .

Построенная таким образом кривая напряжения по выражению (1.18) для рассматриваемого примера варианта б) приведена на рис.1.8.

Характеристиками колебательного переходного процесса является период свободных колебаний и логарифмический декремент колебаний.

Период определяем как

св

св

и для варианта б) соответственно получаем

T 6.28 2,09 10 4 c.

Логарифмический декремент колебаний представляет собой логарифм отношения двух амплитуд, разделенных временем, равным периоду. Отношение амплитуд определяется через и Тсв следующим образом:

Используя первую часть формулы (1.21) из рис.1.8 определяем декремент колебаний по построению

ln 0,090,75 2,09 .

Применяя вторую часть формулы (1.21) получим из расчетных величин и

Тсв

104 2,09 10 4 2,09.

Полученный двумя путями декремент колебаний может являться проверкой правильности построения графиков.

14

2. Анализ переходных процессов в линейных цепях второго порядка операторным3 методом

Как и при анализе цепи классическим методом расчет цепи будем вести в определенном порядке. При решении задач операторным методом целесообразно выделить 5 этапов.

1.Расчет начальных условий и установившихся реакций в цепи после коммутации.

2.Составление операторной схемы замещения.

3.Составление операторных уравнений для изображения тока I(p)4 и напряжения U(p).

4.Нахождение соответствующего оригинала i(t) или U(t).

5.Построение графиков.

Если анализ цепи операторным методом проводится для того же варианта, что и в классическом методе то первый и последний этапы расчета являются формальными, так как уже выполнены в первой части задания.

Для примера решения задачи операторным методом возьмем ту же схему что и при решении классическим с теми же двумя вариантами исходных данных.

2.1.Расчет начальных условий и установившихся реакций в цепи после

коммутации

Начальные условия рассчитываются по законам коммутации и не зависят от метода решения. Поэтому при решении задачи используем начальные условия найденные при решении задачи классическим методом в п.1.1.2. Отметим, что в этом методе нам достаточно знать лишь независимые начальные условия, так как они определяют параметры дополнительного источника в операторных схемах замещения динамических элементов.

Установившиеся реакции определяются для проверки правильности решения. Так как слагаемое решения найденного операторным методом, определяемое нулевым корнем и следовательно не содержащее в себе экспоненциальной или тригонометрической функции, соответствует свободной составляющей в решении классическим методом, то оно должно быть равно установившейся реакции после коммутации, то есть величине этой переменной при t .

Такой расчет был проведен в п.1.1.3 и вместе с начальными условиями занесен в табл.1.2.

3В литературе можно встретить такое название этого метода как операционный.

4Очень часто оператор р может обозначаться как S, что не меняет его смысл.

17

2.2.Составление операторной схемы замещения

При составлении операторной схемы замещения рассматриваем цепь после коммутации. Для нашего примера это схема на рис.1.3. При этом все переменные величины заменяют на их операторные изображения

e(t) E(p), i(t) I(p), U(t) U(p) .

Как упоминалось ранее, в приведенных для самостоятельного решения заданиях для питания схемы используются источники постоянного напряжения, следовательно, используя таблицу, связывающую оригиналы с их изображениями (Прил.2), можно найти изображение источника постоянного напряжения

е(t) = E E(p) Ep .

Всхеме замещения рис.2.1. индуктивный элемент заменяется

последовательным соединением операторного сопротивления pL и дополнительного источника напряжения с ЭДС LiL(+0), направление действия которого совпадает с положительным направлением тока IL(p). Емкостной

направлению тока IC(p).

Операторная схема замещения цепи рис.1.3, составленная таким образом, приведена на рис.2.2.

18