Задание 3

В ящике имеется 29 деталей, среди которых 22 окрашенных. Наугад вынимают две детали. Найти вероятность того, что:

1. обе извлеченные детали окажутся окрашенными ; 2) одна деталь окрашенная, а другая неокрашенная (порядок появления деталей не учитывается); 3) хотя бы одна из двух деталей окажется окрашенной.

Решение:

Общее число исходов

1. Событие А- обе детали окрашенные.

Определим благоприятных исходов. Две окрашенные детали из 22 можно выбрать способами следовательно, число благоприятных исходов

Искомая вероятность

2. Событие В -одна деталь окрашенная, а другая неокрашенная

Искомая вероятность:

3. Событие С- хотя бы одна деталь окрашенная

Так как события С и противоположные, то Р(С)=1-Р(=1-

Ответ: 1. Р(А)=0.569

2. Р(В)=0.379

3. Р(С)=0.948

Задание 4

Имеются три одинаковые с виду урны. Каждая урна содержит nj белых и mj черных шаров, где j = 1,2,3 - номер урны.

1. Найти вероятность того, что вынутый из наудачу взятой урны шар окажется белым.

2. Из наудачу выбранной урны вынули белый шар. Какова вероятность того, что шар вынут из а) первой, б) второй, в) третьей урны ?

1 урна	2 урна	3 урна
n=8 m=9	n=8 m=12	n=40 m=16

Решение:

1. Поскольку нет оснований полагать, что какая-то урна обладает преимуществом при выборе, естественно считать, что гипотезы имеют равные вероятности.

Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)=1/3

Посчитав количество шаров в каждой урне и количество белых шаров, найдем по классическому определению вероятности:

Р(А/Н₁)=8/17=0,47

Р(А/Н₂)=8/20=0,4

Р(А/Н₃)=16/56=0,29

Тогда.

2. Для решения данной задачи применим формулу Бейеса:

Обозначим гипотезы:

Н₁ – выбор первой урны,

Н₂ – выбор второй урны,

Н₃ – выбор третьей урны.

До начала действий все эти гипотезы равновероятны:

Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)=1/3=0.33

По формуле Бейеса апостериорная (после опыта) вероятность того, что шар был вынут из первой урны, равна:

Аналогично для второй урны:

Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из третьей урны, равна:

Ответ: 1. Р(А)=0.385

2 ;

Задание 5

Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна P = 0,688.

1. Определить вероятность того, что :

а) объект будет поражен к = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 раз;

б) число попаданий в объект будет не менее трех;

в) число попаданий в объект не более трех;

г) объект будет поражен хотя бы один раз.

2. Получить ряд распределения и построить многоугольник распределения случайной величины X - числа попаданий в объект.

3. Получить функцию распределения случайной величины X и построить ее график.

4. Определить вероятнейшее число попаданий в объект по графику и по формуле.

5. Определить вероятность того, что число попаданий в объект будет заключено в пределах от 2 до 5.

6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий в объект.

Решение:

1. Вероятность промаха q=1-0.688=0.312

Р(0)=0.312^6=0.0009

P(1)=

P(2)=

P(3)=

P(4)=

P(5)=

P(6)=

2. Событие А число попаданий не менее 3-х

Р(А)=Р₆(3)+ Р₆(4)+ Р₆(5)+ Р₆(6)=0.1978+0.3272+0.2886+0.106=0.9196

3. Событие Б число попаданий будет не более 3-х

Р(Б)= Р₆(3)+ Р₆(2)+ Р₆(1)+ Р₆(0)=0.1978+0.06728+0.0122+0.0009=0.2782

4. Событие С хотя бы 1 попадание

Р(С)=1- Р₆(0)=1-0.0009=0.9991

X	0	1	2	3	4	5	6
P	0,0009	0,0122	0,06728	0,1978	0,3272	0,2885	0,1061

1. По определению есть вероятность того, что случайная величинаX примет значение меньше, чем x.

При х≤0 F(x)=0

0<x≤1 F(x)=F(0)=0.0009

1<x≤2 F(x)=F(0)+F(1)=0.0131

2<x≤3 F(x)=F(0)+F(1)+F(2)=0.0804

3<x≤4 F(x)=F(0)+F(1)+F(2)+F(3)=0.2782

4<x≤5 F(x)=F(0)+F(1)+F(2)+F(3)+F(4)=0.6054

5<x≤6 F(x)=F(0)+F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(5)=0.8939

x>6 F(x)=F(0)+F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(5)+F(6)=≈1

2. n=4 p=0.688 q=0.312

3. При заданных n и p это число определяется неравенствами:

6*0.688-0.312≤k<6*0.688+0.312

3,816≤k<4,44

Так как k целое число, то наивероятнейшее число исходов 4.

Из графика видно, что наивероятнейшее число исходов, так же соответствует 4, вероятность попадания наибольшая.

4. Определим вероятность того, что число попаданий в объект будет заключено в пределах от 2 до 5

5. матическое ожидание

Дисперсия с.в. по формуле

X	0	1	2	3	4	5	6	Итого
P	0,0009	0,0131	0,0673	0,1978	0,327	0,2886	0,1061	1
Х^2	0	1	4	9	16	25	36
X^2*P	0	0,0131	0,2691	1,7803	5,234	7,2142	3,818	18,33

=18,33