4 Колебания и волны

Основные формулы и определения

●Уравнение гармонических колебаний материальной точки имеет вид: x = A sin (ω ₀ t + α) или x = A cos (ω ₀ t + α), где x - смещение частицы от положения равновесия, A – амплитуда, α – начальная фаза, ω ₀ – круговая ( или циклическая) частота собственных колебаний, которая связана с периодом: ω ₀ = 2π/Т.

Скорость колеблющейся точки равна первой производной, а ускорение равно второй производной от смещения по времени.

● Для того чтобы сложить два колебания одного направления и одинаковой частоты (или периода), нужно воспользоваться методом векторных диаграмм. Для этого надо представить каждое колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Тогда результирующая амплитуда A находится по теореме косинусов:

А² = А₁² + А₂² + 2∙А₁∙А₂∙cos( ∆φ), где А₁ и А₂ - амплитуды складываемых колебаний, ∆φ - разность фаз .

●Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид: ξ = А sin(ωt – kx), где ξ - смещение частиц среды от положения равновесия, A – амплитуда волны, k = ω /v – волновое число, ω – круговая частота, v – скорость распространения волны. Длина волны λ и скорость её распространения v связаны соотношением: λ = v∙Т= v/ ν , где Т – период волны и ν – частота колебаний частиц среды.

● Вектор плотности потока энергии упругой волны равен произведению объёмной плотности энергии на вектор скорости распространения упругой волны:. =w·.

●Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны равен векторному произведению: =[ · , где - напряженность электрического поля, -напряженность магнитного поля электромагнитной волны. Направление векторного произведения можно определить по правилу правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, если поворачивать первый вектор () ко второму (), то поступательное движение буравчика покажет направление векторного произведения ( ).

Тест 4 – 1

Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А =4 см и периодом Т=2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно нулю, то точка колеблется (в соответствии с уравнением СИ)...

Варианты ответов:

1. х = 0,04∙sin (2t) ; 2) х = 0,04∙cos (2t);

3. x = 0,04∙sin(π t); 4) x = 0,04∙cos (π t).

Решение.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A∙sin (ω ₀ t + α) или x = A∙ cos (ω ₀ t + α), где A – амплитуда, α – начальная фаза, ω ₀ – частота собственных колебаний, которая связана с периодом: ω ₀ = 2π/Т. По условию задачи: А = 0.04 м, α = 0, ω ₀ = 2π/2 = π , x(0)=0. Начальному условию удовлетворяет формула 3.

Ответ: вариант 3.

Тест 4 – 2

Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А₀. При разности

фаз ∆φ = 3π/2 амплитуда результирующего колебания равна...

Варианты ответов:

1) 5 А₀ /2; 2) А₀; 3) 2 А₀; 4) 0.

Решение.

Для того чтобы сложить два колебания одинаковой частоты (или периода) и одинакового направления, нужно воспользоваться методом векторных диаграмм. Нужно представить каждое колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Тогда для нахождения результирующей амплитуды нужно применить теорему косинусов:

А² = А₁² + А₂² + 2∙А₁∙А₂∙cos ∆φ, где ∆φ - разность фаз . На рисунке показана векторная диаграмма, соответствующая условию теста 4 – 2. В нашем примере векторы А ₁и А ₂ имеют одинаковую длину, т.к. их амплитуды одинаковы: А ₁= А ₂=А₀ , а угол между векторами А ₁ и А ₂ равен разности фаз: ∆φ = 3π/2 = - π/2. Применим теорему косинусов для нахождения результирующей амплитуды: А² = А₀² + А₀² + 2∙А₀∙А₀∙cos(-π/2). Так как cos(-π/2)=0, то А² = А₀² + А₀² и результирующая амплитуда, найденная по теореме Пифагора, будет равна: А = А ₀ . Ответ: вариант 2.