1.2.2. Решение строгого уравнения взаимного снимков в вариантной системе

Исходным уравнением для определения элементов взаимного ориентирования является условие компланарности соответственных лучей (1.5). Это уравнение является нелинейным по отношению к неизвестным

₁^' ,₁^’, ₁^’, ,  . Для определения неизвестных используется итерационный метод.

Представим уравнение (1.5) в виде

φ( ₁^' , ₁^’, ₁^’, ,  )= cos cos ( Y₁^’Z₂^’ – Z₁^’Y₂^’) - cos sin ( X₁^’Z₂^’ – Z₁^’X₂^’) +

+

(1.12)

sin ( X₁^’Y₂^’ – Y₁^’X₂^’) = 0 ;

З

(1.13)

ададим приближенные значения ЭВзО, поскольку на практике как правило при аэрофотосъемке получают плановые снимки, углы наклона которых меньше 3⁰_, то можно задать приближенные значения ЭВзО снимков равными нулю:

₁^'0 = ₁^’0=₁^’0= ⁰ = ⁰=0 .

Разложим функцию (1.12) в ряд Тейлора, ограничиваясь величинами первого порядка малости для того, чтобы уравнение (1.5) стало линейным.

Запишем в общем виде разложение функции (1.12) в ряд Тейлора:

φ( ₁^' ,₁^’, ₁^’, ,  )= φ(₁^'0, ₁^’0, ₁^’0, ⁰, ⁰) + δ₁^{' +}

⁺ δ₁^’+ δ₂^’+ δ +

+

(1.14)

δ .

В формуле (1.14): φ( ₁^' ,₁^’, ₁^’, ,  )-истинное значение функции (1.12),

φ(₁^'0, ₁^’0, ₁^’0, ⁰, ⁰)- значение функции, вычисленное через приближенные значения элементов взаимного ориентирования ₁^'0, ₁^’0, ₁^’0, ⁰, ⁰,

, ,,,-первые производные от функции (1.12) по элементам взаимного ориентирования .

δ₁^',δ₁^’, δ₁^’, δ, δ- поправки к приближенным значениям элементов взаимного ориентирования, являются неизвестными в уравнение (1.14)

Найдем первую производную от функции (1.12) по ₁^' :

(1.15)

=- cos cos (Y₂^’X₁^’)+ cos sin (Z₁^’Z₂^’+ X₂^’X₁^’)-

-sin(Y₂^’Z₁^’) ;

Найдем первую производную от функции (1.12) по ₁^’:

= cos cos Z₂’ b₂^’(x₁-x₀)-b₁^’(y₁-y₀) -

- Y₂^’ c₂^’(x₁-x₀)-c₁^’(y₁-y₀) - cos sin Z₂^’ a₂^’(x₁-x₀)+ a₁^’(y₁-y₀) -

-X₂^’ c₂^’(x₁-x₀)-c₁^’(y₁-y₀) + sin Y₂^’ a₂^’(x₁-x₀) + a₁^’(y₁-y₀) -

(1.16)

- X₂^’ b₂^’ (x₁-x₀) – b₁^’ ( y₁-y₀) ;

Найдем первую производную от функции (1.12) по₁^’ :

σ₁^’= cos cos Z ₂^’ b₃^’ sin₁^’ ( x₁-x₀)+ b₃^’cos₁^’ (y₁-y₀) + + cos₁^’ f - Y₂^’ c₃^’ sin₁^’ (x₁-x₀)- f - c₃^’ cos₁^’ (y₁-y₀) – b₃^’ cosα₁^’ f ^-

^-cos sin Z ₂^’ a₃^’ sin₁^’ (x₁-x₀) + a₃^’ cos₁^’ (y₁-y₀)+ b₃^’ sin α₁^’f -

-X₂^’ c₃^’ sin₁^’(x₁-x₀)- c₃^’ cos₁^’(y₁-y₀) - cosα₁^’ f +

+

(1.17)

sin Y₂^’ a₃^’sin₁^’(x₁-x₀) + a₃^’cos₁^’ ( y₁-y₀) + b₃^’ sin α₁^’ f -

- X₂^’ b₃^’ sin₁^’(x₁-x₀) + b₃^’cos₁^’(y₁-y₀) + cos₁^’ f

Найдем первую производную от функции (1.12) по  :

(1.18)

= - cos sin ( Y₁^’Z₂^’ – Z₁^’Y₂^’)+ sin sin( X₁^’Z₂^’+Z₁^’X₂^’) +

+ cos( X₁^’Y₂^’ – Y₁^’X₂^’) ;

Н

(1.19)

айдем первую производную от функции (1.12) по : = -cos sin ( Y₁^’Z₂^’-Z₁^’Y₂^’) - cos cos(X₁^’Z₂^’-Z₁^’X₂^’);

Обозначим в (1.14) первые производные в виде коэффициентов:

= a

(1.20)

:

=b

= c

= d

= e

Перенесем φ( ₁^' ,₁^’, ₁^’, ,  ) в правую часть выражения (1.14):

φ

(1.21)

(₁^'0, ₁^’0, ₁^’0, ⁰, ⁰) - φ( ₁^' ,₁^’, ₁^’, ,  ) = l ,

где l- свободный член.

У

(1.22)

равнение (1.14) с учетом обозначений (1.20) и (1.21) будет иметь вид:

aδ₁^' + bδ₁^’ + cδ₂^’ + dδ + eδ + l = 0 ,

Уравнение (1.22) будет линейным по отношению к неизвестным δ₁^',δ₁^’, δ₁^’, δ, δ.

Если число уравнений больше пяти , то возникает задача уравнивания и вместо уравнений вида (1.22) будет иметь место система уравнений поправок:

a₁δ₁^'+b₁δ₁^’+c₁δ₁^’+d₁δ+e₁δ=V₁

(1.23)

,

a₂δ₁^'+b₂δ₁^’+c₂δ₁^’+d₂δ+e₂δ=V₂

. . . . . . . . . . . . . . . . .

a_nδ₁^'+b_nδ₁^’+c_nδ₁^’+d_nδ+e_nδ=V_n

n-число уравнений поправок, равное числу точек стереопары, учавствующих в определении ЭВзО снимков, для которых измерены x₁,,y₁,,p,q либо x₁,y₁,x₂,y₂.

n-5- число избыточных уравнений.

Задачу уравнивания решают по методу наименьших квадратов(МНК) под условием [PVV]=min

З

(1.24)

апишем уравнения поправок (1.23) в матричном виде:

A_n5X₅₁+L_n1=V_n1 ;

A_n5-матрица коэффициентов уравнений поправок:

a₁ b₁ c₁ d₁ e₁

(1.25)

A_n5= a₂ b₂ c₂ d₂ e_{2 ;}

. . . . . . . . . . . .

_. a_n b_n c_n d_n e_n

L_n1- вектор свободных членов:

l₁

(1.26)

L_n1= l₂ ,

l_n

X₅₁- вектор неизвестных :

δ₁^'

X₅₁ =

δ₁^’

(1.27)

δ₂^’ ,

δ

δ

V_n1 – вектор невязок :

(1.28)

V₁

V_n1=

V₂

. . . .

V_n

П

(1.29)

ри вычислении ЭВзО будут получены A_n5 и L_n1. Затем переходим к нормальным уравнениям:

B₅₅X₅₁+C₅₁=0 ,

г

(1.30)

деB₅₅- матрица коэффициентов нормальных уравнений:

B₅₅=A_5nA_n5 ;

C

(1.31)

₅₁- вектор свободных членов нормальных уравнений:

C₅₁=A₅₁L_n1 .

В уравнение (1.29) входят 5 уравнений, число нормальных уравнений равно числу неизвестных.

(1.32)

X₅₁=B₅₅^-1C₅₁ ,

δ₁^'

X₅₁=

δ₁^’

(1.33)

δ₂^’ .

δ

δ

Затем вычисляются исправленные значения ЭВзО в первой итерации:

₁^'I = ₁^'0 + δ₁^'I

(1.34)

₁^’I = ₁^’0 + δ₁^’I

₁^’I = ₁^’0 + δ₁^’I .

^I = ⁰ + δ^I

^I = ⁰ + δ^I

Для того, чтобы перейти к другой итерации, нужно проверить условие:

δ₁^'k - δ₁^{' k-1} < ε

(1.35)

δ₁^’k- δ₁^{’ k-1} <ε

δ₁^’k - δ₁^{’ k-1} <ε ,

δ^k - δ^k-1 < ε

δ^k - δ^k-1 < ε

где к и к-1 – номера последующей и предыдущей итерации ;

-допустимая величина, которая зависит от цели решаемой задачи, если условие (1.35) не выполняется, то вычисление ЭВзО производится в новой итерации.

Д

(1.36)

ополнительно к условию (1.35) используется условие:

N=N_{заданное} ,

где N-выполненное число итераций , а N_{заданное}- заданное число итераций.

Апостериорная оценка точности определения ЭВзО выполняется по следующим величинам:

– проверяется точность выполнения условия компланарности соотвественных лучей, проверяется качество выполнения условия (1.5). Подставим в условие (1.5) вычисленные значения ЭВзО в последней итерации. Запишем условие (1.5) через трансформированные координаты точек левого и правого снимков:

(1.37)

.

X₁^’= x₁⁰; Y₁^’=y₁⁰; Z₁^’= -f

X₂^’=x₂⁰ ; Y₂^’=y₂⁰; Z₂^’= -f

Подставим формулы (1.37) в уравнение (1.15) :

c

(1.38)

os cos(-y₁⁰f+y₂⁰f) - cos sin(-x₁⁰f+x₂⁰f) + sin(x₁⁰y₂⁰-y₁⁰x₂⁰)=0 ,

р

(1.39)

азделим на «-f» :

cos cos ( y₁⁰-y₂⁰) - cos sin p⁰ + sin( - x₁⁰y₂⁰/ f + y₁⁰x₂⁰)= 0 .

В формуле (1.39) x₁⁰,x₂⁰,y₁⁰,y₂⁰- трансформированные координаты соответсвенных точек левого и правого снимков, вычисленные через элементы взаимного ориентирования снимков, полученные в последней итерации. Они вычисляются по формулам:

x ₁⁰=- f

y₁⁰= -f .

(1.40)

.

x₂⁰=- f

y₂⁰=-f

Теоретически cos cos ( y₁⁰-y₂⁰) - cos sin p⁰ + sin( - x₁⁰y₂⁰/ f + y₁⁰x₂⁰/f)=0, однако практически cos cos ( y₁⁰-y₂⁰) - cos sin p⁰ + sin( - x₁⁰y₂⁰/ f + +y₁⁰x₂⁰/f)≠0, эта величина – остаточный поперечный параллакас.

Ф

(1.41)

ормула остаточного поперечного параллакса в вариантной системе:

δq= cos cos ( y₁⁰-y₂⁰) - cos sin p⁰ + sin( - x₁⁰y₂⁰/ f + y₁⁰x₂⁰/f).

Величина δq характеризует точность определения ЭВзО снимков:

1. Средне квадратическая ошибка δq:

(1.42)

m_δq=.

2. (1.43)

   Средняя квадратическая ошибка единицы веса:

μ = ,

где k- число неизвестных, в данном случае оно равно 5, тогда

(1.44)

μ= .

3. Средние квадратические ошибки ЭВзО снимков:

m_1' = μ

(1.45)

m_1’= μ

m_2’ = μ .

m_υ = μ

m_τ = μ

На следующем этапе выполняется контроль качества результатов определения элементов взаимного ориентирования, для этого вычисленные величины δq,m_σq,μ, m_1', m_1’. m_2’, m_υ, m_τ сравнивают с допусками[Инструкция по фотограмметрическим работам при создание йифровых карт и планов. М.,2002,100с.], в качестве допустимой величины приведена m_qдоп.=10 мкм = 0,01мм.Если допуски выполняются, то решение задачи взаимного ориентирования считается законченным. Если допуски не выполняются, то производится анализ результатов, с целью выявления ошибок, тогда либо измеряют δq заново, либо данная точка исключается из процесса взаимного ориентирования снимков, после чего элементы взаимного ориентирования вычисляются заново.