Программирование и алгоритмизация / Лабораторные работы / Лаб_раб_№3

Лабораторная работа №3 "Вычисление суммы ряда"

1. Краткие теоретические сведения

Часто для вычисления некоторой функции используется её разложение в бесконечный ряд.

Действительная функция f(x) называется аналитической в точке , если в некоторой окрестности ||<R этой точки функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора):

При получаем разложение функции в ряд Маклорена:

Таким образом, вычисление значения функции можно свести к вычислению суммы числового ряда а₁ + а₂ + ... + a_n +...

Известно, что числовой ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частных сумм:.

Для вычисления суммы ряда с заданной точностью необходимо продолжать процесс суммирования до тех пор, пока очередные слагаемые не станут больше по модулю искомой точности.

Если же очередное слагаемое оказалось меньше (или равно) искомой точности, то процесс суммирования можно прекратить.

В зависимости от вида слагаемых ряда выбирается и метод их вычисления. Условно все ряды можно разбить на три группы.

1) Первая группа — ряды, в которых каждое слагаемое, кроме одного или нескольких первых, полностью выражается через предыдущее слагаемое.

Пример 1. Найти сумму ряда с заданной точностью ε:

+…

Введём обозначения:

Очевидно, что можно выразить:

В общем виде можно записать: .

Рассмотрим фрагмент программы на С++, выполняющий данные вычисления.

int main() { double x, p, s, i, eps=1.0e-4; cout<<”Введите x=”; cin>>x; for(i=1,s=1,p=1; fabs(p)>eps; i++) { p=-p*x/i; s+=p; } cout<<”Сумма равна”<<s<<endl; return 0; }

1. Вторая группа — это ряды, в которых нельзя полностью выразить очередное слагаемое через предыдущее, но можно составные части этого слагаемого выразить через соответствующие части предыдущего слагаемого.

Пример 2. Найти сумму ряда с заданной точностью ε:

+…

Каждое слагаемое такого ряда может быть вычислено по формуле:

2. Третья группа — это ряды, в которых каждое слагаемое зависит

только от его номера. Обычно в таких рядах нет факториалов и степеней высших порядков.

Пример 3. Найти сумму первых n слагаемых:

Формула для вычисления очередного слагаемого:

Обратите внимание на следующий момент. В предыдущих двух примерах изменение знака слагаемых мы очень просто реализовали или в формулах вычисления очередного слагаемого или части слагаемого.

Здесь же (пример 3) пришлось завести специальную переменную z для изменения знака слагаемых, т.е. переменная z может принимать только два значения: 1 или -1. Вычислять это проще всего по формуле: z=-z.

2. Постановка задачи

Задание 1. Используя оператор цикла, найти сумму ряда с точностью , общий член которого задан в конкретном варианте.

Варианты

№	Вариант	№	Вариант	№	Вариант
1		11		21
2		12		22
3		13		23
4		14		24
5		15		25
6		16		26
7		17		27
8		18		28
9		19		29
10		20		30

Задание 2. Для х изменяющегося от a до b с шагом (b-a)/k, где k=10, вычислить функцию y = f(x), используя ее разложение в степенной ряд в двух случаях:

а) для заданного n;

б) для заданной точности ε (ε=0.0001).

Для сравнения вывести точное значение функции.

Значения a, b, n вводятся произвольно с клавиатуры.

Варианты

№	Формула суммы ряда S	Функция
1		; │x│<1
2		; │x│>1
3
4	S = 1 + x+ x3 + x5 + x7 + ... xn-1 + ...	y = 1/(1-x)
5
6
7		y = xln(1+x); |x|<1
8		y = ln(1-x); |x|<1
9
10		y = x - sin2 (x)
11
12
13
14
15		y = ln(1+x); |x|<1
16		y = (1+x)e-x
17		y = cos(x)+xsin(x)
18		y = 1+cosx
19		; │x│<1
20		y = x+sinx
21		y = ex - 3x
22	S = 3x + 8x2+ 15x3 + 24x4 + 35x5 + ... n (n+2) xn + ...	; |x|<1
23		y = 1-cosx
24		y = sin(5x)
25
26		y = ax; a>0; x>0
27		y = ax; a>0; x<0
28		y = e2x - x
29		y = sin(x)
30

1. Вопросы на защиту

1. Ряд Тейлора и ряд Маклорена.

2. Операторы цикла.

3. Виды завершения С-программ.

4. Управляющие символы, виды комментариев, формат вывода вещественных чисел в С и С++.

5. Составить блок-схему и написать программу решения следующей задачи:

найти сумму ряда