Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский государственный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

+σ1

+σ2

+σ1

–σ2

E A

ВE

E A

E1 АE2

А E

E A

E2 E1

а)	б)

Рис. 26.

2.2.3. Расчет напряженности поля, созданного заряженным телом простой формы

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их всегда можно свести к совокупности точечных зарядов.

Методика расчета напряженности состоит из двух частей:

•Первая (дифференцирование) заключается в разбиении заряженных тел на малые области, каждая из которых может считаться точечным зарядом, и применении к ним формулы напряжѐнности электростатического поля точечного заряда.

•Вторая (интегрирование) заключается в векторном суммировании напряжѐнностей электростатических полей.

Примеры решения задач

Задача 2.8. Вычислить напряжѐнность поля, создаваемого тонким стержнем длиной ℓ, несущим равномерно распределѐнный по длине заряд с линейной плотностью + τ в точке, равноудалѐнной от концов стержня, находящейся на расстоянии r0 от его середины.

Решение. Выделим на стержне бесконечно малый участок d , заряд которого можно считать точечным (рис. 27, а):

dQ d .

(1)

Воспользуемся формулой напряжѐнности поля точечного заряда в дифференциальном виде:

dE k	dQ	k d	(2)
	r 2
		r 2

Сделаем геометрические преобразования. Из OAB (см. рис. 27, а):

cos	r0	r	r0	(3)
	r		cos

Из CDB (рис. 27, б):

dE dE y

O dE x

dυ r r0

C B A

dl	а)	+ τ

cos

(4)

cos

а = r dυ

Так как угол d мал, то sin d d

Из OBD (см. рис. 27, а):

б)

sin d d

a rd .

(5)

Рис. 27.

Подставив в формулу (4) а и r из (5) и (3), получим:

r0d

(6)

cos

(cos )2

Подставив r из (3) и d из (6) в формулу (2), получим:

(cos )2 d

(cos )2

r d

dE k

d .

(7)

r 2

(cos )2

Так как dE

вектор, то dE dE x dE y .

Из рис. 27, а: dEx dE sin ;

dE y dE cos .

Чтобы найти полную напряжѐнность, нужно проинтегрировать

еѐ составляющие:

dE x

dE y .

Модуль напряжѐнности

2 E 2 .

Для половины стержня угол υ изменяется от 0 до α, а для всего

стержня – от α до – α

Ex dE sin k

sin d k

cos

cos .

Так как cos cos( ), то Ex

0 .

E y dEs cos k

s cos d k

sin

sin sin .

Так как sin sin , то E

2sin .

Из OAC на рис. 27, а выразим sin :

sin

/ 2

r 2

( / 2)2

Окончательно получим:

E E y k

/ 2

r02 ( / 2 )2

Задача 2.9. На тонком кольце равномерно распределен заряд с линейной плотностью заряда + τ. Определить напряженность электростатического поля в точке, расположенной на оси кольца и удаленной на расстояние а от плоскости кольца.

						Решение. Выделим на кольце
	+ τ	y			элемент длины d (рис.				28). Заряд
		y			dQ = τ d , находящийся				на выде-
					dQ = τ d , находящийся				на выде-
			dE		ленном участке, можно считать
	a	dE y			ленном участке, можно считать
		dE y
					точечным.		Напряженность элек-
					точечным.		Напряженность элек-
R	β	dEx	E	x
R	β	dEx	E	x	тростатического поля dE , созда-
					тростатического поля dE , созда-
d	r				ваемого точечным зарядом dQ:
d		Рис. 28.					dQ	k d ,
		Рис. 28.
						dE k
						dE k
							r 2	r 2
где r – расстояние от элемента d до заданной точки.

	Выразим вектор dE через проекции dE x						и dE y на оси коорди-
нат:

			dE dE x dE y .

	Напряженность		E найдем интегрированием вдоль длины ок-
ружности ℓ:

			E dE dE x dE y .

Так как кольцо симметрично относительно заданной точки, то все проекции на ось х скомпенсируют друг друга, то есть интеграл

dE y

0 .

Тогда

dE x ,

где

dE x dE cos k d cos .

r 2

Из рис. 28:

cos

a2 R2 ;

;

a2 R2

dE cos k

k a

2 R

a2 R2

a2 R2 2 R (a2

R2 )3 / 2

С учетом того, что длина окружности ℓ

= 2πR,

коэффициент

, окончательно получим:

(a2 R2 )3 / 2

2.3. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности

Электростатическое поле обладает потенциальной энергией,

поэтому наряду с напряженностью поля E для описания полей используется такая характеристика поля, как потенциал.

Потенциал электростатического поля υ – СФВ, являющаяся энергетической характеристикой поля и численно равная потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный точечный заряда:

	Wп	(2.10)
	q

За единицу измерения потенциала в СИ принимают 1 Вольт

[υ] = 1В = 11ДжКл .

Потенциал не зависит ни от потенциальной энергии WП ни от заряда q +, а является характеристикой поля.

Подчеркнем, что, в отличие от напряженности, потенциал

–не векторная, а скалярная величина. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Потенциал поля, созданного положительным зарядом, положителен, а потенциал поля, созданного отрицательным зарядом, отрицателен.

Для потенциала справедлив принцип суперпозиции: потен-

циал поля, созданного в данной точке системой положительных и отрицательных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности с учетом их знаков:

n
i .	(2.11)
i 1
Численное значение потенциала зависит от выбора нулевого
уровня υ.
Нулевой уровень потенциала –	геометрическое место точек

поля, потенциал которых принимается равным нулю и выбирается произвольно: в бесконечности, на поверхности Земли и т. д.

Потенциал поля, созданного точечным зарядом Q на расстоя-

нии r от него:
		k	Q	.			(2.12)
		k		.			(2.12)
			r
			Для		графического		изображения
		распределения потенциала пользуются

	E	эквипотенциальными				поверхностя-
		эквипотенциальными				поверхностя-
	υ1 > υ2 > υ3	ми – поверхностями, во					всех точках
	1 2 3	которых потенциал υ имеет одно и то
	1 2 3	которых потенциал υ имеет одно и то
		же значение.
		же значение.
			Форма эквипотенциальных по-
		верхностей может быть разная, напри-
		мер, для точечного заряда эквипотен-
Рис. 29.		циальные			поверхности	–	концентри-

ческие сферы (рис. 29).

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей характеризует напряженность поля в разных точках. Чем гуще эквипотенциальные поверхности, тем больше напряженность поля.

Свойства эквипотенциальных поверхностей:

1)работа по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю;

2)линии вектора напряжѐнности всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям;

3)эквипотенциальные поверхности не пересекаются, так как одна и та же точка поля не может иметь два разных значения потенциала;

4)густота эквипотенциальных поверхностей пропорциональна модулю потенциала, т. е. она характеризует пространствен-

ное распределение потенциала.

Зная расположение линий напряжѐнности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности, и наобо-

рот. Следовательно, электростатическое поле считается полностью

заданным, если для каждой точки пространства задан вектор E или скаляр υ.

Задания для самостоятельной работы

кразделу 2.3

1.Электрическое поле создается двумя равными по

величине зарядами: + q1 и – q2. Укажите ошибоч-			C
ную запись:
а) ЕА > EB;	б) υB > 0;	в) υC = 0;
г) EC ≠ 0;	д) υA < 0;	е) ЕА = 0.	B q1 A	q2

2. На каком из рисунков потенциал результирующего поля в точке А равен нулю, если расстояние от зарядов до точки А одинаково

(|q1| = |q2|)

+ q1	– q2		q1	q2	+ q1	A
+ q1	– q2			q1	+ q1	A
				q1
				A	A
				A	q2
A	q1 A	q2	A	q2	q2
			A	q2	q1	q2
					q1	q2
а)	б)		в)	г)	д)	е)

3. Потенциалы в точках А и О поля, созданного положительно заря-

женной сферой, удовлетворяют условиям:

+ q A

а) υO = υА> 0; б) υO > υA > 0; г) υO < υA < 0; д) υO = υА= 0;

в) υA > υO > 0;
е) υO = υА< 0.	O

4.Найти правильный график зависимости υ(r) для положительно заряженного металлического шара радиуса R.

υ	υ	υ
υ	υ

R	r	R	r	R		r
а)		б)			в)
υ		υ		υ
υ

R	r	R	r	R	r
г)		д)		е)

5.В каком случае разность потенциалов между точками поля А и В равна нулю?

+ q1	– q2	B			B	+ q	B
		B				+ q	B
		A	+ q	A			+ q
		A
A	В	q				A	A
A	В						В


а)		б)		в)		г)	д)

6. Найти ошибочную запись для эквипотенциальных поверхностей:


а) qΔυ = 0;	б) υ = const;	в) E d ;
г) E 0;
г) E 0;	д) grad E ;	е) Е = const.

где d - элемент длины эквипотенциальной поверхности.

Примеры решения задач

Задача 2.10. В вершинах квадрата со стороной а расположены три положительных заряда и один отрицательный. Значение каждого заряда равно Q. Определить потенциал электростатического поля в центре квадрата.

Решение. Согласно принципу суперпозиции (2.11), потенциал результирующего поля

1 2 3 4 .

Внимание: при расчете потенциала знаки зарядов учитываются автоматически, поэтому значение результирующего потенциала не зависит от того, как расположены положительные и отрицательные заряды в вершинах квадрата.

Как видно из рис. 30, расстояние от любого из зарядов до рассматриваемой точки одинаково и вычисляется из теоремы Пифагора:

+ Q

+ Q	a	– Q
	Рис. 30.

(2r)2 a2 a2 2a2 r a 22 .

Потенциал, создаваемый каждым зарядом, согласно (2.12) равен:

k Qr .

Подставив в принцип суперпозиции значение потенциала и значение r, получим:

k Qr k Qr k Qr k Qr 2k Qr 4k aQ2 .

Задача 2.11. Тонкий стержень длиной ℓ равномерно заряжен зарядом Q. Найти потенциал поля в точке С, расположенной на оси стержня на расстоянии, равном длине стержня от его ближайшего конца.

Решение. Разобьем стержень					ℓ		ℓ
Решение. Разобьем стержень					ℓ		ℓ
на элементарные	участки длиной	О		dQ
dℓ с зарядом dQ.	Каждый такой	О					r	С	Х

					dℓ
участок можно принять за точеч-

						Рис. 31.
ный заряд, создающий по формуле						Рис. 31.
ный заряд, создающий по формуле
(2.12) потенциал
	d k	dQ	,
	d k	r	,
		r

где r – расстояние от элемента dℓ до точки С;

dQ = τdℓ – из определения линейной плотности заряда (1.3). Потенциал результирующего поля

d k dQr ,

где интегрирование ведется по всему заряду.

Поскольку требуется найти потенциал в точке, лежащей на оси стержня, введем ось ОХ (рис. 31). Тогда длина элемента dℓ = dx, а расстояние от этого элемента до точки С r = х, которое изменяется от ℓ до 2ℓ. Тогда потенциал в точке С вычисляется так:

a		dx	a dx			2
	k		k		k ln		.
		x		x
a			a

С учетом того, что Q , окончательно получим:

k Q ln 2 .

Рис. 32.

Задача 2.12. Тонкий диск радиуса R равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ. Найти потенциал поля в точке А, лежащей на оси диска на расстоянии а от него.

				Решение. Чтобы найти потенциал в
А		r		точке А, надо применить принцип супер-
А				точке А, надо применить принцип супер-
а				позиции полей (2.11). Разобьем диск на
а				позиции полей (2.11). Разобьем диск на
σ				элементарные кольца толщиной dх (рис.
				элементарные кольца толщиной dх (рис.
	x			32). Площадь кольца радиуса х
				32). Площадь кольца радиуса х
				S = 2πxdx,
R			dx а заряд кольца (из формулы (1.4))

Q = σ S = 2πσxdx.

Потенциал поля элементарного кольца равен сумме потенциалов, созданных всеми его точечными элементами. Так как эти элементы находятся на одинаковом расстоянии от точки А, то, заменив заряд кольца точечным зарядом той же величины, удаленным на расстоянии

r a2 x2

от точки А, найдем по формуле (2.12) потенциал элементарного кольца:

d k

2 x

d .

4 0

2 0

a2 x2

Чтобы определить потенциал диска, надо проинтегрировать

потенциалы элементарных колец:

		r	x
		r	x			a2 r 2 a .
d				dx
d				dx
	2 0 0		a2 x2		2 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.09.201942.73 Кб4экономика и управление.docx
#
21.04.2019675.84 Кб13экономика предприятия.doc
#
27.03.2016215.04 Кб77Электричество. Магнетизм. Ч.2.doc
#
20.09.201967.07 Кб5электропривод 9-12. 29,30.doc
#
03.06.20158.48 Mб316электростатика.doc
#
27.03.20161.86 Mб46ЭЛЕКТРОСТАТИКА.pdf
#
27.03.2016101.33 Кб283Электротехника 1 лабораторная (1).docx
#
27.03.201697.61 Кб216Электротехника 2 лабораторная (1).docx
#
03.06.2015903.68 Кб8Элементы современной физической картины мира.doc