18

рискофобами с предпочтениями представимыми функцией ожидаемей полезности с дифференцируемыми элементарными функциями полезности, не зависящими от состояния.

(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных распределениях потребители будут полностью застрахованы от риска (т.е. x1k x2k для любого потребителя k ), пользуясь дифференциальной характеристикой внутреннего Парето-оптимума.

(б) Приведите альтернативное доказательство утверждения из пункта (а): покажите, что для любого допустимого внутреннего распределения такого, что x1k x2k , можно построить Паретоулучшение.

(в) Покажите, что во внутреннем равновесии Эрроу-Дебре равновесное отношение цен равно отношению вероятностей наступления соответствующих состояний мира.

(г) Предположим теперь, что потребитель А нейтрален к риску, а все остальные условия задачи остаются неизменными. Будет ли потребитель В по-прежнему полностью застрахован от риска в любом внутреннем Парето-оптимальном распределении?

15. *Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя состояниями мира (1 и 2) и тремя потребителями (A, B и С). Запасы физического блага у потребителей в состояниях

мира 1 и 2, соответственно, составляют A (9, 3) , B (9, 6) , C (9, 3) . Предпочтения всех

потребителей представимы функцией ожидаемой полезности с возрастающими элементарными функциями полезности, причем элементарная функция полезности потребителя С имеет вид:

uC (x) ln xC . Потребитель С считает, что первое состояние мира наступит с вероятностью

недостающие параметры равновесия.

Раздел 3. Теория поведения производителя (фирмы)

1.Пусть фирма занимается производством столов из ножек и столешниц. Если для производства одного стола требуется одна столешница и четыре ножки, то какой вид имеет производственная функция данной фирмы? Изобразите изокванты.

2.Пусть производственная функция имеет вид f (x1 , x2 ) (x1a x2a )b , где a,b 0 . При каких

значениях параметров данная технология характеризуется убывающей, постоянной и возрастающей отдачей от масштаба?

3. Пусть технология фирмы описывается производственной функцией Кобба-Дугласа вида f (x1 , x2 ) x1a x2b , где a b 1, a,b 0 .

(а) Выпишите задачу фирмы в краткосрочном периоде, считая первый фактор фиксированным. Найдите спрос на первый фактор и предложение фирмы.

(б) Выпишите задачу максимизации прибыли и условия, характеризующее ее решение. Найдите функции спроса на факторы производства и функцию предложения фирмы.

(в) Покажите, что в пункте (б) доля расходов на каждый фактор производства постоянна.

(г) Воспользовавшись результатом пункта (б), объясните, что происходит с функцией предложения в случае a b 1.

(д) Что можно сказать о решении задачи максимизации прибыли в случае a b 1?

4. Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя два фактора производства, согласно производственной функции f (x1 , x2 ) 2x1 x2 . Выпишите задачу

максимизации прибыли фирмы; найдите спрос на оба фактора производства и предложение готовой продукции.

19 5. Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя два фактора

(а) Верно ли, что производственная функция f (x1, x2 ) 2x1 4x2 описывает ту же технологию?

(б) Изобразите изокванту, соответствующую уровню выпуска y 4 .

(в) Пусть цена готовой продукции равна p 4 , а цены факторов составляют w1 2 и w2 3.

Выпишите задачу максимизации прибыли фирмы; найдите спрос на оба фактора производства и предложение готовой продукции.

6. Пусть технология фирмы описывается производственной функцией y f (x1 , x2 ) . Будем

считать, что производственная функция фирмы характеризуются убывающим предельным продуктом каждого фактора. Пусть в краткосрочном периоде второй фактор фиксирован.

(а) Выпишите задачу максимизации прибыли и условия, характеризующие ее решение. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Предположим, правительство ввело потоварный налог t на каждую единицу первого фактора, используемую фирмой. Как изменится объем использования первого фактора, предложение готовой продукции и прибыль фирмы в результате введения налога? Приведите графическую иллюстрацию.

7.Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя два фактора производства, труд и капитал согласно производственной функции y f (K, L) . Покажите, что

спрос на труд не возрастает при увеличении ставки заработной платы. (В задаче не предполагается дифференцируемость производственной функции.)

8.Пусть при ценах ( pt ,w1t ,w2t ) (3, 2, 4) фирма выпускала 16 единиц готовой продукции, затрачивая факторы производства в количестве (x1t , x2t ) (5, 7) . Затем цены изменились, и при новых ценах ( ps ,w1s ,w2s ) (2, 3, 2) фирма произвела 13 единиц готовой продукции, затратив

факторы в количестве (x1s , x2s ) (4, 6) . Совместимы ли подобные наблюдения с максимизацией прибыли?

9.Докажите не пользуясь дифференцированием, что выручка максимизирующей прибыль фирмы не возрастет при пропорциональном увеличении цен всех факторов производства.

10.Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя единственный фактор производства. При цене выпуска p и цене фактора w объем спроса фирмы на фактор

составил x и объем выпуска составил y , а при ценах p и w фирма выбрала x и y . На рисунках изображены соответствующие изопрофиты. В каком/каких из следующих случаев поведение фирмы не согласуется с максимизацией прибыли?

11. Пусть производственная функция фирмы имеет вид f (x1 , x2 ) . В каждом из следующих случаев

20

(i)f (x1 , x2 ) min{2x1 , x2 }.

(ii)f (x1, x2 ) 2x1 x2 .

(iii)f (x1, x2 ) 2x1x2 .

(а) Вычислите минимальные издержки производства выпуска y 2 при ценах факторов w1 1, w2 2 . Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Найдите функции условного спроса на факторы производства, и функцию издержек фирмы.

12.Верно ли, что если технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то функция издержек линейна по выпуску? Что можно сказать в этом случае о средних издержках?

13.Пусть при ценах (w1t ,w2t ) (10, 20) фирма использовала следующие объемы факторов производства (x1t , x2t ) (1, 2) для производства 100 единиц готовой продукции. Затем цены изменились, и при новых ценах (w1s ,w2s ) (20,10) фирма производила 100 единиц готовой

продукции, затратив факторы в количестве (x1s , x2s ) (2,1) . Совместимо ли подобное поведение фирмы с минимизацией издержек?

14. Пусть фирма владеет двумя заводами по производству некоторого товара. На первом заводе продукция производится в соответствии с функцией издержек c1(y1) y12 / 2 , а на втором – в соответствии с функцией издержек c2 (y2 ) y2 . Найдите функцию издержек фирмы.

15.Рассмотрите фирму, минимизирующую издержки, которая производит готовую продукцию с помощью двух факторов производства (труда и капитала). Предположим, что заработная плата, возросла, и фирма на это отреагировала изменением спроса на факторы производства, но сохранила выпуск постоянным. Что произойдет с объемом труда, используемым фирмой?

16.Пусть функция издержек фирмы в долгосрочном периоде (при фиксированных ценах факторов производства) имеет вид: c( y) y2 T , если y 0 , и c(0) 0 , где T 0 – это затраты фирмы на вход в отрасль (например, на покупку лицензии).

(а) Найдите средние и предельные издержки фирмы и приведите графическую иллюстрацию.

(б) Найдите функцию предложения фирмы и приведите графическую иллюстрацию.

Раздел 4. Экономика с производством

1. Рассмотрите экономику с одним потребителем (А) и одной фирмой, производящей из

функцией полезности u A x1A , x2A x1A x2A 2 .

(а) Приведите графическую иллюстрацию (изобразив аналог ящика Эджворта). Укажите на рисунке все допустимые распределения.

(б) Будет ли распределение x1A 0, x2A 10, x1 4, y2 8 Парето-оптимальным? Если вы

считаете, что данное распределение Парето-оптимально, тогда приведите доказательство, если вы считаете, что нет, – укажите Парето-улучшение.

(в) Найдите Парето-оптимальные распределения. Приведите графическую иллюстрацию. В пунктах (г)-(д) считайте, что 2A 12 (а все остальные условия задачи неизменны).

(г) Найдите Парето-оптимальные распределения в этом случае. Приведите графическую иллюстрацию.

полезности u A x1A , x2A x1A x2A , где параметр 0 . Начальные запасы благ 1A 16 , 2A 1.

производственной функцией f x1 2x1 .

(а) Найдите равновесие по Вальрасу в данной экономике следуя определению равновесия. Приведите графическую иллюстрацию. Будет ли равновесное распределение Паретооптимально?

(б) Предположим, правительство ввело 30 % налог на прибыль фирмы. Доходы от сбора налога передаются потребителю. Не выполняя расчетов, объясните как изменится равновесное распределение и цены.

5. Рассмотрите экономику с одним потребителем и одним производителем. Функция полезности потребителя uA x1A, x2A x1A x2A 2 . Начальные запасы благ 1A 5 , 2A 9 . Технология позволяет из единицы первого блага произвести три единицы второго блага.

(а) Проверьте выполнение закона Вальраса в рассматриваемой экономике.

(б) Найдите равновесие, следуя определению равновесия. Будет ли равновесное распределение Парето-оптимальным?

(а) Найдите равновесие по Вальрасу, следуя определению равновесия. Будет ли равновесное распределение Парето-оптимальным?

22

(б) Предложите альтернативный поиск равновесия и реализуйте его.

7. Рассмотрите экономику, в которой предпочтения потребителя представимы функцией полезности u A x1A , x2A x1A 2 . Технология позволяет из единицы первого блага произвести две

Парето-оптимальным? Может ли оно быть реализовано как равновесное при положительных ценах? Если да, то реализуйте. Если нет, то объясните почему. Согласуется ли этот результат с теоремами благосостояния?

(б) Выполните задания пункта (а) при предположении, что 2A 0 .

8. Пусть функция полезности потребителя имеет вид: u A x1A , x2A x1A x2A . Технология описывается производственной функцией f (x1 ) x1 . Начальные запасы благ: 1A 7 , 2A 2 .

реализовать как равновесное? Если да, то при каких ценах?

9.Предпочтения потребителя представимы функцией полезности uA x1A, x2A x1A 2 x2A 2 . Для производства единицы второго блага требуется затратить две единицы первого блага.

Начальные запасы 1A 4 , 2A 3. Найдите все Парето-оптимальные распределение/я. Какое из найденных распределений может быть реализовано как равновесное?

10.Рассмотрите экономику с одним потребителем и одной фирмой, проиллюстрированную (частично) на рисунке. Изобразите на рисунке типичные кривые безразличия потребителя для

случая, когда при ценах ( p1, p2 ) возникает дефицит первого блага. Покажите какой набор при

этих ценах выберет каждый экономический агент. Будет ли при этих ценах выполнен закон Вальраса? Обоснуйте свой ответ.

p1 / p2

p2

шампанского задается функцией y( p) 2 p 40 .

(а) Найдите равновесную цену и объем производства и потребления шампанского. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Предположим, правительство решило ввести налог на производителей шампанского в размере t 6 на каждую произведенную единицу. Найдите равновесие на рынке шампанского и приведите графическую иллюстрацию.

23

(в) Как изменится ваш ответ на пункт (б), если налог платит потребитель? Проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

(г) Какова минимальная величина потоварного налога t , при которой в равновесии ничего не производится и не потребляется?

(д) Как изменятся излишки потребителя и производителя в результате введения налога, описанного в пункте (б)? Какова величина чистых потерь (DWL) от введения потоварного налога? Проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

(е) Предположим теперь, что накануне Нового года правительство отменила налог на шампанское, но ввело «потолок» цены, по которой можно продавать шампанское, на уровне

pˆ 40 (т.е. производитель не может продавать товар по цене выше указанной). А для того,

чтобы на рынке шампанского не возникло дефицита, было решено субсидировать производителя. Какова должна быть величина потоварной субсидии, чтобы на рынке шампанского спрос был равен предложению?

(ж) Предположим, что теперь вводится 50% субсидия на стоимость каждой проданной единицы шампанского, т.е. s 1/ 2 . Найдите равновесие в данном случае и проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

(з) Как изменится ваш ответ на пункт (ж), если субсидию получает потребитель? Проиллюстрируйте свой ответ.

12.Верно ли, что производители алкогольной продукции неизбежно выигрывают при введении минимальной цены на их продукцию?

13.Сравните с точки зрения излишка потребителей, излишка производителей, чистых потерь общества установление максимальной цены молока и потоварное налогообложение производства молочной продукции, приводящие к одинаковому равновесному объему продаж этой продукции. Считайте, что кривые спроса и предложения линейны.

14. Пусть совокупный спрос на благо описывается функцией x( p) 120 4 p , а совокупное предложение: y( p) 2 p 30 .

(а) Найдите равновесную цену и количество блага. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Предположим, правительство решило субсидировать производителей блага, выплачивая им субсидию s 5 за каждую произведенную единицу блага. Найдите равновесие и приведите графическую иллюстрацию.

(в) Как изменится излишек потребителя и излишек производителя в результате введения субсидии. Каковы чистые потери?

(г) Как изменится ваш ответ на пункт (б), если субсидию получает потребитель?

15. Типичная фирма из Силиконовой долины производит выпуск y в соответствии с технологией, описываемой функцией издержек c(y) , которая является возрастающей и строго

выпуклой. Производимая продукция делится на две группы. Первую группу, доля которой равна , образуют устройства без дефектов. Товары этой группы продаются на конкурентном рынке по цене p . Продукция второй группы содержит дефекты и не может быть продана.

(а) Как изменится прибыль и выпуск фирмы при малом увеличении доли продукции без дефектов ?

(б) Предположим, что в отрасли J таких фирм. Пусть x( p) - функция совокупного спроса на

продукции отрасли; будем считать, что она является убывающей. Как изменится равновесная цена p при малом увеличении ?