(а) Найдите равновесие в данной экономике.

(б) Найдите множество Парето-оптимальных распределений и изобразите в ящике Эджворта. Будут ли граничные Парето-оптимальные распределения? Будет ли равновесное распределение Парето-оптимальным?

(в) Рассмотрите распределение x {x A (8, 2), x B (8, 6)}. Можно ли данное распределение

реализовать как равновесное в экономике с трансфертами? Если вы считаете, что можно, то найдите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.

24. *Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В),

каких-либо ценах и трансфертах? Если вы считаете, что можно, то укажите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.

(б) Можно ли распределение x {x A (6, 1), x B (14, 7)} реализовать как равновесное при

каких-либо ценах и трансфертах? Если вы считаете, что можно, то укажите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.

25. *Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),

u A x1A , x2A min x1A , x2A и uB x1B , x2B min x1B , x2B . Найдите равновесие в данной экономике (при положительных ценах) либо докажите, что равновесие не существует.

Раздел 2. Выбор в условиях неопределенности

1. Рассмотрите индивида, которому предложили выбрать между получением 7 д.е. и участием в лотерее, позволяющей выиграть 20 д.е. с вероятностью 1/ 4 и 4 д.е. с вероятностью 3/ 4 .

(а) Если известно, что индивид – рискофоб, то что он выберет?

(б) Если известно, что индивид – рискофил, то что он выберет?

(в) Если известно, что индивид нейтрален к риску, то что он выберет?

(г) Предположим теперь, что элементарная функция полезности индивида имеет вид: u(x) 1/ x . Каково отношению к риску у данного индивида? Что выберет данный индивид?

Как изменится ваш ответ, если индивиду предлагается выбор между данной лотереей и гарантированным получением 4,5 д.е.?

2. Пусть лотерея L обещает выплату в размере x1 с вероятностью и в размере x2 в противном случае. Рассмотрите нейтрального к риску индивида, обладающего богатством w . Обозначим через pmin - минимальную цену, по которой индивид согласится продать данную лотерею, если

он ею владеет, а через pmax - максимальную цену, за которую он согласится купить данную

лотерею, если он ею не владеет. Чему равны pmin и pmax ? Проинтерпретируйте полученный результат.

3. Г-жа A рассматривает альтернативы проведения субботнего вечера. Она может пойти в ресторан “Ocean View”. Такое времяпрепровождение она оценивает в 49 д.ед. Кроме того, г-жа

14

А может пойти в ресторан “Renaissance”. Если в “Renaissance” будет выступать “Flabrum euri”, то такой вечер оценивается г-жой А в 100 д.ед. Если же концерта не будет, то оценка такого вечера 16 д.ед. Обычно по субботам в ресторане “ Renaissance” действительно выступает “Flabrum euri”, и вероятность такого события г-жа А оценивает в 75 %. Она может позвонить в справочную службу ресторана, чтобы узнать будет концерт или нет. За неуплату у А отключили стационарный телефон. Поэтому она может сделать звонок только с мобильного телефона. В соответствии с ее тарифом для нее звонок платный. Предпочтения А описываются функцией

ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности u x x .

(а) Какова максимальная цена за звонок, которую согласится заплатить А?

(б) Приведите иллюстрации в пространстве «богатство-полезность» и пространстве контингентных благ.

4. Рассмотрите следующие элементарные функции полезности:

(а) Какая/какие из указанных функций полезности описывают предпочтения индивида, обладающего положительным богатством, если

индивид является рискофобом;

индивид нейтрален к риску;

индивид является рискофилом?

(б)Есть ли среди указанных функций полезности такие, что индивид при одном уровне богатства является рискофобом, а при другом - рискофилом?

5. Состояние г-на Х оценивается в 64 д.е., однако часть этого богатства, равная 28 д.е., хранится на депозите в банке Y. По мнению экспертов банк Y находится на грани банкротства, в связи с чем вероятность потери вложенных в банк средств оценивается в 25%. Будем считать, что предпочтения г-на Х описываются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией

полезности u(x) x .

(а) Фирма Z, скупающая проблемные долги, предложила господину Х продать его депозит в банке Y за 13 д.е. Пойдет ли г-н Х на такую сделку? Изменится ли ваш ответ, если г-ну Х предложат 26 д.е.?

(б) Проиллюстрируйте ваш ответ на пункт (а) в пространстве контингентных благ:

(1)определите контингентные блага;

(2)изобразите кривые безразличия г-на Х и укажите их наклон;

(3)отметьте на рисунке точки, соответствующие случаям, когда г-н Х продает свой актив и отказывается от сделки.

6. Две подруги Анна и Мария, предпочтения которых могут быть описаны элементарными

собираются вложить деньги в инвестиционные проекты, вероятность успеха в которых оценивается, как ¼. Если деньги будут вложены удачно в инвестиционный проект, предлагаемый Анне, то ее состояние составит 256 тыс. долларов, если нет, то ее состояние составит только 36 тыс. долларов. Если деньги будут вложены удачно в инвестиционный проект, предлагаемый Марии, то ее состояние составит 100 тыс. долларов, если нет, то ее

15

состояние составит только 52 тыс. долларов. В настоящее время состояние каждой из подруг оценивается в 64 тыс. долларов.

(а) Будет ли Анна инвестировать средства в проект? Будет ли Мария инвестировать средства в проект? Проиллюстрируйте решение графически в пространстве контингентных благ и в пространстве богатство-полезность.

(б) Предположим, что проекты независимы, и у подруг есть возможность либо объединить свои риски, либо участвовать в индивидуальном инвестиционном проекте. При объединении рисков полученные от инвестиций средства (как выигрыши, так и потери) подруги будут делить пополам, т.е., состояние обеих подруг будет одинаковым. Согласится ли каждая из подруг принять подобные условия и участвовать в проектах, объединив свои богатства?

(в) Какую максимальную сумму будет готова заплатить Мария Анне за то, чтобы подруги участвовали в рисковых проектах совместно? Если Мария заплатит Анне указанную сумму, изменит ли Анна свое решение относительно совместного участия в проектах?

(г) Предположим, что до принятия решения о вложении средств в индивидуальный рисковый проект, каждая из подруг имеет возможность получить информацию о том, будут ли инвестиции успешны или нет, заплатив за эту информацию некоторую сумму денег. Найдите максимальную сумму денег, которую каждая из подруг захочет заплатить за информацию. Проиллюстрируйте решение графически в пространстве контингентных благ.

7. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида – рискофоба, предпочтения которого описываются функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности. Пусть цена единицы страховки превышает вероятность наступления страхового случая . Покажите, что в этой ситуации индивид не будет покупать полную страховку, а

застрахуется на сумму, меньшую потерь, т.е. выберет страховое покрытие y L . Приведите графическую иллюстрацию в пространстве контингентных благ.

8. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида, обладающего богатством w $12 тыс. Предположим, с вероятностью 1/ 2 может произойти несчастный случай, в результате которого индивид потеряет часть этого богатства, а именно, L $8 тыс. Индивид имеет

возможность приобрести страховку по цене 1/ 2 за единицу страхового покрытия. Предпочтения индивида описываются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности u(x) ln(x) .

(а) Какое количество страховки приобретет данный индивид?

(б) Как изменится ваш ответ на пункт (а), если цена единицы страховки составит 3/ 5 ?

(в) Опишите задачу выбора оптимальной величины страховки в терминах контингентных (обусловленных) благ.

Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.

Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.

Изобразите на графике оптимальную точку при 1/ 2 и 3/ 5 .

(г)Предположим теперь, что индивид нейтрален к риску. На какую сумму застрахуется данный индивид при 3/ 5 ? Изобразите решение графически.

9. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида, обладающего богатством w 150 д.е. Предположим, с вероятностью (0,1) может произойти несчастный случай, в результате которого индивид потеряет часть этого богатства, а именно L 50 д.е. Индивид имеет возможность приобрести страховку по цене 3/ 4 за единицу страхового покрытия у нейтральной к риску страховой компании, не имеющей операционных издержек, причем

16 страхование на сумму, превышающую потери, запрещено. Элементарная функция полезности индивида имеет вид u(x) ln(x) .

(а) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели. Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.

(б) При каких значениях индивид страхуется полностью? Приведите иллюстрацию в пространстве контингентных благ.

(в) Существуют ли значения такие, что индивид откажется от страховки? Если да, то найдите все такие значения. Если нет, то аргументируйте почему. Проиллюстрируйте свой ответ в пространстве контингентных благ.

10. Рассмотрите индивида-рискофоба, который решает, как ему распределить свое богатство w руб. между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 в этот актив, индивид получит 4. Вложив 1 во второй актив – рисковый, можно получить a 4 с вероятностью ,

(0, 1) , и b 4 в противном случае, причем a (1 )b 4 . Пусть предпочтения индивида

представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности.

(а) Выпишите задачу максимизации ожидаемой полезности индивида и условия первого порядка.

В пунктах (б)-(в) считайте, что индивид предъявляет положительный спрос на оба актива.

(б) Как изменится спрос на безрисковый актив при малом увеличении параметра b ? Проинтерпретируйте полученный результат.

(в) Как изменится спрос на рисковый актив при малом увеличении вероятности ? Проинтерпретируйте полученный результат.

(г) Опишите задачу выбора оптимального портфеля в терминах контингентных (обусловленных) благ:

Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.

Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.

Приведите графическую иллюстрацию условия a (1 )b 4 , изобразив на одном рисунке бюджетное ограничение и кривые безразличия индивида.

(д)Предположим теперь, что индивид нейтрален к риску. Найдите оптимальную величину вложений в рисковый и безрисковый активы. Приведите графическую иллюстрацию.

11. Вы располагаете богатством 500 д.е. Ваш приятель хочет открыть свой магазин и просит у Вас вложить в его бизнес некоторую сумму денег. В замен он обещает, что Вы станете совладельцем. Тогда, если торговля будет успешной, то с каждого вложенного Вами рубля Вы получите 4 д.е. Но если магазин прогорит, то Вы потеряете свои деньги. Изучая статистику Вы поняли, что вероятность успеха равна 2/5. Ваша элементарная функция полезности имеет вид:

u x ln x .

(а) Предположим, Ваш приятель просит у Вас вложить в магазин 200 д.е. Согласитесь ли Вы с предложением приятеля?

(б) Выпишите условие, характеризующее максимальную сумму денег, которую Вы готовы вложить в магазин.

(в) Предположим, что Ваш приятель просит у Вас не определенную сумму, а предлагает Вам самому решить, сколько вложить, чтобы стать совладельцем. Какую сумму Вы дадите?

(г) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.

17

(д) Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.

(е) Изобразите на графике Ваш оптимальный выбор.

(ж) Предположим теперь, что Вы нейтральны к риску. Каков будет Ваш оптимальный выбор в этом случае? Приведите графическую иллюстрацию.

12. Рассмотрите налогоплательщика, имеющего доход равный w 0, который должен подать декларацию о доходах в налоговую инспекцию. Обозначим через ставку подоходного налога ( 0 1). Налогоплательщик может указать в налоговой декларации сумму, меньшую его фактического дохода, но не может указать сумму, превышающую его фактический доход. Если налоговая инспекция проведет проверку и выявит уклонение от налогов, то налогоплательщик будет вынужден не только выплатить налоги на незадекларированный доход (обозначим его через x ), но и заплатить штраф по ставке s с каждого доллара незадекларированного дохода, причем 0 s 1. Пусть вероятность проведения проверки поданной декларации равна ,

(0,1) , и если она проводится, то гарантировано выявляется фактический доход налогоплательщика.

Считайте, что налогоплательщик – рискофоб, имеющий предпочтения, не зависящие от состояния, и представимые функцией ожидаемой полезности.

(а) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.

(б) Выпишите задачу налогоплательщика, из которой определяется оптимальная величина декларируемого дохода и условия, характеризующие внутреннее решение.

(в) Покажите, что условие (1 ) s 0 является необходимым и достаточным условием того, что налогоплательщик будет занижать свой фактический доход в налоговой декларации.

Далее считайте, что условие, приведенное в п. (в) выполнено.

(г) Как изменится величина недекларируемого дохода при малом увеличении штрафа s ?

(д) Выведите бюджетное ограничение в терминах теории контингентных благ и изобразите графически.

(е) Приведите графическую иллюстрацию условия, приведенного в п. (в), изобразив на одном рисунке бюджетное ограничение и кривые безразличия индивида.

(ж) Предположим теперь, что налогоплательщик нейтрален к риску. Будет ли он уклоняться от уплаты налогов? Изобразите решение графически.

13. *Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя потребителями (А и В) и двумя состояниями мира (1 и 2). Пусть первоначальные запасы потребителей описываются

векторами A ( , 0) , B (0, ) , где 0 . Пусть потребитель А считает первое состояние

мира более вероятным, т.е. 1A 1B . Предположим также, что потребители являются

рискофобами с предпочтениями представимыми функцией ожидаемей полезности с дифференцируемыми элементарными функциями полезности, не зависящими от состояния.

(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных распределениях уровень потребления каждого потребителя будет выше в том состоянии мира, которое он считает более вероятным.

(б) Будет ли верен результат пункта (а), если потребитель А нейтрален к риску?

14. *Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя потребителями (А и В) и двумя состояниями мира (1 и 2). Пусть первоначальные запасы потребителей описываются

векторами A ( , 0) , B (0, ) , где 0 . Потребители одинаково оценивают вероятности наступления обоих состояний мира. Предположим также, что потребители являются