9_физ_1(векторы)
.pdf2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
В зависимости от значения угла проекции вектора a на оси прямоугольной системы координат могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Зная проекции вектора a на оси координат, можно найти его вели-
чину и направление по формулам: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
и tg |
ay |
|
|
|
a a2 |
a2 |
, |
(4 – 5) |
||||
|
|||||||
|
x |
y |
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причём знаки ax и ay будут указывать на
то, какому квадранту принадлежит значение
Пусть теперь нам задано векторное ра-
венство a b c (рис. 15). Проектируя все векторы на оси координат, получим очевидные равенства
cx ax bx , |
cy ay by , |
или |
|
cx acos bcos , |
cy asin bsin , |
т. е. по проекциям векторов a и b легко находятся проекции суммарного вектора c .
y |
|
|
|
by |
|
b |
|
cy |
a |
c |
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
O |
ax |
bx |
x |
|
|
cx |
|
|
Рис. 15 |
|
§3. Скалярное произведение векторов
1. Определение. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на ко-
синус угла между ними, и обозначается a b. Таким образом,
|
a b a b cos . |
|
(6) |
|
Иногда используют |
более |
сложные обозначения для |
скалярного |
|
|
|
|
|
|
произведения векторов: (ab) или даже (a,b) . |
|
|
||
Если векторы a и b |
ортогональны a b , |
то cos 0 и поэтому |
a b 0. Скалярное произведение двух векторов также равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым.
Если векторы коллинеарны и одинаково направлены, то cos 1, поэтому скалярное произведение векторов a и b равно произведению модулей векторов a и b . В частности, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: a a a2 .
2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович
11
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
2. Имеется еще одна важная форма записи скалярного произведения
через проекции векторов в прямоугольной системе координат хОу. |
|
|
|
Пусть в некоторой системе координат векторы a |
и b имеют координа- |
ты (ax ;a y ) и (bx ;by ) . Тогда для скалярного произведения векторов справедлива формула
|
|
|
|
a b axbx ayby . |
|
|
(7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, имеем |
a b |
(ax i a y |
j ) (bx i |
by |
j ) , |
или после пе- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ремножения скобок a |
b ax bx i i ax by i j |
a y bx ji |
a y by jj . Учиты- |
|||||||||
вая, что векторы |
i |
и |
j |
единичные и взаимно перпендикулярные, |
||||||||
i i j j 1 и i |
j j i |
0 , получим (7). |
|
|
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При другом выборе системы координат векторы a и b |
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
имели бы другие координаты (ax ;a y ) |
и (bx ;by ) . По- |
|
|
|
этому, могло бы показаться, что в новой системе коор- |
O |
3 |
x |
|||||||
динат скалярное произведение векторов (7) будет иметь |
||||||||||
другое значение. На самом деле, согласно (6) величина |
|
|
|
|||||||
скалярного произведения останется такой же: модули |
-4 |
|
|
|||||||
векторов и угол между ними не зависят от поворотов и |
|
|
|
|||||||
сдвигов системы координат. |
|
|
|
|
Рис. 16 |
|
||||
|
|
|
|
Определите . |
|
|
||||
Пример 3. a (3; ) , a 5. |
|
|
|
|
||||||
Решение. |
Согласно |
формуле |
(4) |
имеем |
32 2 |
52 , |
откуда |
|||
2 16 и = 4. |
Заметим, |
что условию задачи удовлетворяют два |
||||||||
разных вектора (см. рис. 16). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Векторы a |
(0;3) и b ( ;5) коллинеарны друг другу. |
|||||||||
Определите . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Вектор a параллелен оси Oy (перпендикулярен оси Ox: ax |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0). Поэтому коллинеарный ему вектор b также должен быть перпен-
дикулярен оси Ox, т. е. должно выполняться равенство bx = 0, т.е. =0. |
||
|
|
|
Пример 5. Векторы a |
( 1;3) и b ( ;5) перпендикулярны друг |
|
другу. Определите . |
|
|
Решение. Векторы |
a |
и b перпендикулярны друг другу, поэтому |
равно нулю скалярное произведение этих векторов (см. формулу (6) и вывод после неё). Тогда по формуле (7) для скалярного произведения
векторов имеем: ( 1) 3 5 0 , откуда = 15.
2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович
12
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
|
Пример 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p b(ac) c(ab) . Докажите, |
что p a . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Надо доказать, что скалярное произведение векторов a и |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p равно нулю. В самом деле, |
a |
p (ab)(ac) (ac)(ab) 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7. Векторы a , |
b , |
c составляют тре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
угольник (см. рис. 17). Воспользовавшись свой- |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ствами скалярного произведения векторов, дока- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
жите теорему косинусов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||||||||
|
|
|
c2 |
a2 |
b2 |
2abcos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. По условию задачи имеем c (a b) . |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
можно представить как |
|
|
|
|
Рис. 17 |
|
|
|
|
||||||||||
Квадрат модуля вектора c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
скалярное произведение его на самого себя: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
c2 c |
c . Вычислим это |
||||||||||||||||||||||||||
скалярное произведение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
c |
c |
(a |
b) (a |
b) |
a |
|
a |
a |
b |
b |
a |
b b a2 b2 2abcos |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и угол (см. рис.17) – два смежных |
||||||||||||||||
Угол между векторами a и b |
угла, т. е. =180о – . Поэтому имеем
c2 a2 b2 2abcos(180 ).
Пользуясь известной из тригонометрии формулой приведения cos(180 ) cos , получаем формулу (8).
Пример 8. Найдите угол |
между векторами a 3i 2 j и |
b 2i j.
Решение. |
По |
определению |
|
|
|
скалярного |
произведения |
||||||||||||||||||
a b a b cos , где искомый угол, |
a и b модули векторов a и |
||||||||||||||||||||||||
b соответственно. Отсюда cos |
a b |
|
. В свою очередь, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a b axbx ayby 3 2 2 1 8, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|||||||
a ax2 ay2 |
32 |
22 |
13, b |
b2 |
5. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
0,992. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
13 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда 173 .
2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович
13
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание) |
||||||||
|
|
§4. Примеры из физики |
|
|
|
|||
|
Простейшие примеры векторов в физике – скорость и сила. |
|
||||||
|
1. Всякое движение можно представить как результат сложения не- |
|||||||
скольких движений, его составляющих. Скорость результирующего |
||||||||
движения изображается по величине и направлению диагональю па- |
||||||||
раллелограмма, построенного на отрезках, изображающих составляю- |
||||||||
щие скорости, как на сторонах. Рассмотрим конкретный пример. |
||||||||
|
Пример 9. Рыбак переправляется на лодке |
|
|
|
||||
A через реку, которая течёт в сторону, ука- |
A |
v1 |
B |
|||||
занную стрелкой (рис. |
18). Пусть скорость |
v2 |
|
|||||
v |
|
|||||||
течения воды v1 изображается по величине и |
|
|||||||
|
|
|||||||
C |
|
D |
||||||
направлению отрезком AB, а скорость v2 |
|
|||||||
|
|
|
||||||
движения лодки относительно воды под вли- |
|
M |
||||||
янием усилий гребца изображается отрезком |
Рис. 18 |
|||||||
AC (в стоячей воде лодка двигалась бы по |
||||||||
|
|
|
||||||
направлению |
AC со скоростью v2 ). |
Лодка будет двигаться относи- |
||||||
тельно берега по направлению AM со скоростью |
v, |
изображаемой |
||||||
диагональю |
AD параллелограмма, построенного на векторах |
v1 и v2 |
||||||
(в данном случае параллелограмм ABDC является прямоугольником). |
||||||||
|
2. Сила – как векторная величина – всегда имеет |
|
|
|
||||
определённое направление, модуль, а также точку |
|
F1 |
|
|||||
приложения. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Часто встречаются случаи, когда на тело дей- |
|
|
|
||||
ствуют несколько сил. Тогда бывает удобно заме- |
|
|
|
|||||
нить их одной силой, которая производит на тело |
O |
F2 |
||||||
такое же действие, как и несколько одновременно |
F3 |
|||||||
действующих сил. Такую силу (если она существу- |
|
|
||||||
|
F4 |
|
||||||
ет) называют равнодействующей. Нахождение рав- |
|
|
||||||
|
|
|
||||||
нодействующей нескольких сил осуществляется с |
|
Рис. 19 |
||||||
помощью правил векторного сложения, при этом |
|
|
|
|||||
слагаемые силы называют составляющими. |
|
|
|
|||||
|
Так, несколько сил, действующих на одну и ту же точку, тела, всегда |
|||||||
можно заменить одной равнодействующей, |
|
|
|
|||||
как бы ни были направлены силы и каковы |
|
|
|
|||||
бы ни были их величины. Пусть, например, |
|
|
|
|||||
на |
тело |
действуют |
четыре |
силы |
|
|
|
|
F1 , F2 , F3 и F4 , приложенные к одной точке |
|
|
|
|||||
O и лежащие в одной плоскости (рис. 19). |
|
|
|
|||||
Тогда их равнодействующая F будет равна |
|
|
|
|||||
векторной сумме этих сил, найденной по |
|
|
|
|||||
правилу многоугольника (рис. 20). |
|
Рис. 20 |
|
|||||
2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич |
|
|
|
|||||
|
|
Лукьянов Андрей Александрович |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
14 |
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
Пример 10. Найти равнодействующую R трёх равных по модулю сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми силами равны между собой.
F1 F2 F3 F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. См. рис. 21. Углы между парами векто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ров F и |
F |
, F |
и F , а также между векторами F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
F |
, равны друг другу и равны 120о. Сложим силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|||||||||||||
F2 и F3 |
по правилу параллелограмма. Вследствие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенства модулей сил |
|
F |
|
и |
|
|
F |
|
, этот параллело- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2+F3 |
|
|||||||||||||||||||||
грамм есть ромб. Сумма сил F2 + F3 |
есть диагональ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 21 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ромба, поэтому углы между парами векторов |
F2 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
F |
|
|
+ F , а также |
F |
и F |
|
+ F |
равны по 60о, т. е. векторы F |
и F |
+ F |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||
направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны. Си- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ловой параллелограмм, |
построенный на векторах F |
и F , состоит из |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
двух равносторонних треугольников, поэтому модуль силы | F2 + F3 | = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F F F = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
F |
, |
т. е. |
|
|
F |
(F F ) , |
откуда |
|
|
следует |
F + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
F1 F2 F3 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 11. (*) К телу приложено 6 сил, лежащих в одной плоскости |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и составляющих друг с другом углы в 60о. Силы последовательно рав- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ны 1, 2, 3, 4, 5 и 6 Н. Найти равнодействующую R этих 6-ти сил. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F5 |
|
|
|
F3+F6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
60o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2+F5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R || F5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1+F4 |
F1+F4+F3+F6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 22а |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 22б |
|
|
Рис. 22в |
|
|
|
|
|
|
Решение. Сложение сил по правилу многоугольника здесь не целесообразно. Поступим иначе. Сложим сначала попарно силы, направленные вдоль одной прямой (см. рис. 22, а-в). Получим
2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович
15
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
F4 |
|
4 |
1 |
3, |
аналогично |
F2 |
F5 |
5 |
2 3 и |
F3 F6 |
|
6 3 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сумма сил F |
F |
направлена вдоль вектора |
F . Туда же направлена и |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма сил |
F1 F4 |
F3 |
F6 , |
причем модуль этой силы = 3. В итоге |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем, |
что сумма |
всех |
шести сил |
F1 F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
F6 |
||||||||||||||
направлена |
|
вдоль |
направления |
силы |
F5 , |
а модуль этой |
силы |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| F1 |
F2 |
F3 |
F4 F5 F6 | = 3 + 3 = 6 Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 12. (*) Найти равнодействующую R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
пяти равных по модулю сил, приложенных к те- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
лу в одной точке и расположенных в одной |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
плоскости, если углы между всеми соседними |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
силами равны между собой (см. рис. 23). (Эти |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
углы, разумеется, равны 360о/5 = 72о.) |
|
|
|
|
Рис. 23 |
|
Решение. В отличие от предыдущего примера здесь мы имеем не-
чётное число сил, поэтому невозможно образовать из них целое число
пар. Поступим иначе. Возьмём какую-нибудь силу, например, F1 , а
остальные сгруппируем в пары и попарно сложим их (см. рис. 24): |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
F5 и |
F3 |
F4 . |
|
|
|
|
|
F1 |
|
||
|
Почему удобна именно такая группировка сил |
|
|
|
||||||||
|
|
|
F2+F5 |
|||||||||
в |
пары? |
Дело |
в том, что обе |
суммы |
сил |
(и |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72o |
|
|
F2 F5 , |
и |
F3 F4 ) направлены вдоль |
линии |
F2 |
F5 |
|||||||
|
||||||||||||
действия |
силы |
F1 . Ясно, что результирующая |
|
|
36o |
F4 |
||||||
всех сил будет направлена вдоль линии действия |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
|
|
|
силы F1 . |
Модули сумм сил легко найти из гео- |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
метрии. Например, в силовом параллелограмме, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F3+F4 |
||
построенном на векторах F2 и |
F5 , который яв- |
|
|
|||||||||
|
|
Рис. 24 |
|
|||||||||
ляется ромбом, длина диагонали ромба (модуль |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силы F2 F5 ) равна удвоенной половинке диагонали, а та легко ищется |
||||||||||||
из любого из 4-х прямоугольных треугольников, на которые ромб раз- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бивается диагоналями. В результате | F F | 2F cos 72 , где F – мо- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дуль любой из 5-ти исходных сил. Аналогично: | F |
|
F | 2F cos 36 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
||
2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Лукьянов Андрей Александрович |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
В итоге для модуля искомой силы получаем формулу R F(1 2cos 72 2cos 36 ) (*). Для углов 72о и 36о нет таких про-
стых формул, как для углов 30о, 45о или 60о. Пользуясь калькулятором, можно, однако, показать, что согласно формуле (*) R = 0.
Имеется и более красивое доказательство того, что результирующий вектор есть нулевой вектор. В самом деле, мы довольно произвольно
взяли в качестве силы, которой не хватило пары, силу |
F . |
А если бы в |
|
|
|
1 |
|
качестве такой мы взяли силу F2 , а в пары объединили F1 |
и F3 (одна |
||
|
|
|
|
пара) и F4 |
и F5 . Повторив рассуждения, мы получили бы, что резуль- |
||
|
|
|
|
тирующая всех пяти сил R должна быть направлена вдоль линии дей- |
|||
|
|
|
|
ствия силы F2 . Возможно ли, чтобы вектор был одновременно направлен вдоль двух несовпадающих друг с другом направлений (и
F1, и F2 ; а на самом деле, |
как догадался читатель, – ещё и вдоль |
|
|
|
|
направления действия сил F3 , |
F4 |
и F5 !). Ненулевым вектор не может |
быть! Остаётся одна возможность: суммарный вектор – нулевой! |
В примерах 10 и 11 мы искали по правилу параллелограмма суммы
сил. В примере 12 мы, можно сказать, интересовались проекцией ре-
зультирующей силы на направление (например, силы F1 ). В следую-
щих примерах мы снова будем интересоваться скорее не результиру-
ющей силой, но лишь какими-то её проекциями.
C |
60o |
A |
45o |
|
|
|
B |
|
|
Q |
|
|
Рис. 25 |
|
C |
|
|
60 |
o |
A |
|
|
|
|
||
45 |
o |
T |
|
T |
1 |
|
2 |
|
|
||
|
T2, гор |
B T1, гор |
|||
|
|
|
Q |
|
|
|
|
Рис. 26 |
|
Пример 13. Электрический фонарь весом Q = 16 Н укреплен, как показано на рис. 25. Определите отношение натяжений T1 и T2 в проволоках BA и BC, углы наклона которых даны на рисунке.
2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович
17
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание) |
|
|||||||||
Решение. В условиях равновесия сумма всех сил, приложенных к |
||||||||||
точке В, равна нулю. Потому проекция результирующей всех сил на |
||||||||||
горизонтальное направление тоже равна нулю. Проекция силы тяжести |
||||||||||
фонаря на это направление равна нулю (эта сила вертикальна). Остают- |
||||||||||
ся вклады от двух натяжений со стороны проволок ВА и ВС. Горизон- |
||||||||||
тальную ось направим слева направо. |
Тогда имеем: T1, гор T2, гор |
0 |
||||||||
(см. рис. 26), |
|
т. е. |
T cos 60 T cos 45 |
0 |
(или |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
T sin 30 T sin 45 0 ), откуда получаем T / T |
2 . |
|
||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Пример 14. (*) Однородная мас- |
|
|
|
|
|
|||||
сивная верёвка подвешена за два кон- |
T1 |
|
o |
|
|
|||||
ца на разных высотах (см. рис. 27). |
|
=30 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Масса веревки m. Углы, которые со- |
|
|
|
=60o |
||||||
ставляет верёвка с вертикалью в точ- |
|
|
|
|
|
|||||
ках закрепления, |
равны 30о |
и |
60о. |
|
|
|
T |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Определите силы |
натяжения веревки |
|
|
|
|
|
||||
вблизи точек крепления веревки. |
|
|
|
Рис. 27 |
|
|||||
Решение. Задача кажется очень трудной, т. к. не ясно, какую роль |
||||||||||
играет неизвестная нам форма веревки, которую она примет под дей- |
||||||||||
ствием сил тяжести всех частей веревки. (В предыдущем примере мы |
||||||||||
не интересовались провисанием проволок под действием силы тяжести, |
||||||||||
молчаливо считая провисание малым.) И всё же задача в той постанов- |
||||||||||
ке, в какой дана, |
имеет простое решение. |
Мысленно проведем гори- |
||||||||
зонтальную ось слева направо. Поскольку верёвка находится в равно- |
||||||||||
весии, то сумма проекций всех сил на горизонтальное направление |
||||||||||
равна нулю. Сила тяжести верёвки имеет нулевую проекцию на это |
||||||||||
направление (эта сила направлена |
|
|
|
|
|
|
||||
вертикальна). Снова остаются вкла- |
T1 |
|
|
|
|
|
||||
ды от двух натяжений (см. рис. 28): |
|
|
=30o |
=60o |
||||||
|
T1,гор T2,гор 0 , |
|
T1sin30 |
o |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или T sin30 T sin 60 0. |
|
|
|
|
ц.т. |
|
T2 |
|||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
T2sin60o |
|
Полагая |
|
sin 30 1/2 |
и |
|
|
|
|
|||
sin 60 |
3/2, |
|
находим |
|
|
|
mg |
|
|
|
T1 / T2 |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мысленно проведём |
|
|
|
|
|
|
||||
ещё и вертикальную ось, направив |
|
|
|
Рис. 28 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович
18
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
её вниз. Сумма проекций всех сил на эту ось также равна нулю:
mg T cos 30 T cos 60 0. |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая найденное ранее соотношение между Т1 |
и Т2 и значения |
||||||||||||
cos 60 1/ 2 и cos 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 / 2 , получаем: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
mg |
3 T2 |
3 / 2 T2 / 2 0 , |
|
|
|
|
|||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 mg / 2 и T1 |
|
mg / 2. |
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|||||||||
Пример 15. На гладкой наклонной плоскости с |
|
|
|
|
|||||||||
углом наклона лежит брусок массой m. Какую |
F=? |
||||||||||||
горизонтальную силу нужно приложить к бруску, |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
чтобы он находился в покое (см. рис. 29)? Опреде- |
|
|
|
|
|||||||||
лите также модуль нормальной силы реакции на |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Рис. 29 |
|||||||||||
брусок со стороны наклонной плоскости. |
|
|
Решение. Брусок по условию задачи покоится. Значит, сумма всех сил, приложенных к бруску, равна нулю. Равны нулю и суммы проек-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ций сил на любые направления, в частности, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на направление вдоль наклонной плоскости и |
||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярное ему. Нормальная сила ре- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
акции N |
со стороны наклонной плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет равную нулю составляющую вдоль |
||
|
|
|
|
|
|
|
F |
наклонной плоскости. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Fsin |
Проекция сила тяжести |
mg на ось Ох |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вдоль наклонной плоскости (рис. 30) равна |
||
|
|
|
|
|
|
mgcos |
|||||||
|
|
|
|
|
|
mg sin , |
а проекция горизонтальной силы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
mg |
||||||||||
|
|
|
F на эту ось равна F cos . |
Других сил вдоль |
|||||||||
|
|
|
Рис. 30 |
||||||||||
|
|
|
наклонной |
плоскости не |
действует (плос- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кость, по условию задачи, гладкая, т. е. сила трения пренебрежимо мала). Приравнивая нулю сумму проекций на ось Ох всех сил, действующих на тело, получаем: mg sin F cos 0 , откуда находим
F mg sin mg tg . cos
Для отыскания N обратимся к проекциям сил на направление Оу. Приравняем нулю и сумму проекций на ось Оу:
Nmg cos F sin 0 ,
2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
Лукьянов Андрей Александрович
19
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
откуда N mg cos F sin , или с учётом найденного значения F:
N mg cos mg |
sin2 |
|
mg |
cos2 |
sin2 |
, |
|||
cos |
|
|
|
cos |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
тогда с учётом |
основного тригонометрического тождества, |
||||||||
sin2 cos2 1 |
получаем окончательно N |
|
mg |
. |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
Пример 16. На шероховатой поверхности доски лежит брусок массой m. К нему приложена сила, направленная под углом к горизонту (см. рис. 31). Определите модуль нормальной силы реакции со стороны поверхности.
Решение. Поскольку брусок не проваливается
и не подскакивает вверх, то сумма проекций сил
на |
вертикальную |
ось |
равна |
нулю: |
N F sin mg 0 |
(см. |
рис. 32), |
откуда |
находим
N mg F sin .
Рис. 31
y |
|
|
N |
Fsin |
F |
|
|
|
|
|
x |
|
mg |
|
|
Рис. 32 |
|
Замечание. Часто совершенно безосновательно приравнивают силу реакции N силе тяжести mg. Мы видим, что даже в случае горизонтальной поверхности это в общем случае не так. Для наклонной плоскости это тоже не так. В предыдущем примере нормальная сила реакции равнялась mg/cos . Кстати, если бы удерживающая сила F, действовала там не вдоль горизонтали, а вдоль наклонной плоскости, то для удержания бруска на наклонной плоскости потребовалась бы сила величи-
ной F mg sin , |
а нормальная сила |
реакции |
была бы равна |
N mg cos (и |
снова не равнялась |
бы mg!) |
Докажите это |
20